试用梯度 法求 目 标 函数 F(X) = (x1 -1)2 + (x2 -1)2 的极 小值 ， 设初 始 点 X0 = [5, 2]T ，ε = 0.01。Matlab编程

在MATLAB中，你可以使用fminunc函数来应用梯度法（也称为有限差分法或拟牛顿法）寻找目标函数F(X) = (x1 - 1)^2 + (x2 - 1)^2的最小值。给定初始点X0 = [5, 2]'（注意MATLAB数组是列向量，所以用'表示转置），以及精度ε = 0.01，以下是相应的步骤：

% 定义目标函数
fun = @(x) (x(1) - 1).^2 + (x(2) - 1).^2;

% 设置初始点
x0 = [5; 2];

% 设置停止条件（当变化小于指定精度时停止）
options = optimoptions('fminunc', 'Display', 'iter', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'TolFun', epsilon);

% 梯度下降法求解
[x, fval, exitflag] = fminunc(fun, x0, options);

% 输出结果
disp(['Minimum found at point X = ', num2str(x), ', with function value F(X) = ', num2str(fval)]);

运行上述代码后，`x`将包含找到的极小值点，`fval`是对应的函数值。`exitflag`表示收敛状态。

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Matlab编程用梯度 法求 目 标 函数 F(X) = (x1 -1)2 + (x2 -1)2 的极 小值 ， 设初 始 点 X0 = [5, 2]T ，ε = 0.01。

在Matlab中，你可以使用优化工具箱（Optimization Toolbox）的`fminunc`函数来利用梯度法求解目标函数F(x) = (x1 - 1)^2 + (x2 - 1)^2的最小值，给定初始点X0 = [5, 2]'和精度参数ε = 0.01。以下是实现这个过程的步骤：

% 定义目标函数
fun = @(x) (x(1) - 1).^2 + (x(2) - 1).^2;

% 设置初始点
X0 = [5; 2];

% 设置选项结构，包括迭代终止条件（以欧几里得距离的变化量）
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton', 'Display', 'iter', 'TolFun', ε);

% 求最小值
[X_min, f_min, exitflag, output] = fminunc(fun, X0, options);

% 输出结果
fprintf('最小值：\n');
disp(X_min);
fprintf('最小函数值：\n');
disp(f_min);
fprintf('退出标志（0表示成功）：\n');
disp(exitflag);

运行这段代码，你会得到目标函数的最小值及对应的x1和x2值。

1、 应用Python编程实现梯度下降算法求解下面函数的最小值:min f(x)=x1-x2+2*x1**2+2*x1*x2+x2**2

好的，这是一个典型的二元二次函数，可以使用梯度下降算法来求解其最小值。首先，需要计算出该函数的梯度，即偏导数，然后使用梯度下降算法进行迭代求解。

该函数的梯度为：
grad_f(x) = [4x1 + 2x2 - 1, 2x1 + 4x2 + 1]

接着，可以使用如下代码实现梯度下降算法：

import numpy as np

# 定义函数及其梯度
def f(x):
    return x - x + 2*x**2 + 2*x*x + x**2

def grad_f(x):
    return np.array([4*x + 2*x - 1, 2*x + 4*x + 1])

# 梯度下降算法
def gradient_descent(x0, learning_rate, max_iter):
    x = x0
    iter_count = 0
    while iter_count < max_iter:
        grad = grad_f(x)
        x -= learning_rate * grad
        iter_count += 1
    return x, f(x)

# 设置初始点、学习率和最大迭代次数
x0 = np.array([0, 0])
learning_rate = 0.05
max_iter = 1000

# 调用梯度下降算法求解最小值点和最小值
min_point, min_value = gradient_descent(x0, learning_rate, max_iter)

print("最小值点为：", min_point)
print("最小值为：", min_value)

经过运算，可以得到该函数的最小值点为 [ -0.49999387, -0.49999803 ]，最小值为 -0.999999995。