给出一个正整数a，要求分解成若干个正整数的乘积，即a = a1 * a2 * a3 * ... * an，并且1 < a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an，问这样的分解的种数有多少。注意到a = a也是一种分解. 输入 第1行是测试数据的组数n(n<=100)，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数a (1 < a < 32768) 输出 n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，指明满足要求的分解的种数 样例 样例输入1 2 2 20 样例输出1 1 4 c++代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAX_N = 32768;
int dp[MAX_N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    // 预处理dp数组，dp[i]表示正整数i的分解种数
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0] = 1; // a = a也是一种分解
    for (int i = 1; i <= MAX_N; i++) {
        for (int j = i; j <= MAX_N; j++) {
            dp[j] += dp[j - i];
        }
    }
    
    while (n--) {
        int a;
        cin >> a;
        cout << dp[a] << endl;
    }
    
    return 0;
}

这段代码使用动态规划的思想，通过填表的方式计算出每个正整数的分解种数。首先，初始化dp[0]为1，表示a = a是一种分解。然后从小到大遍历1到MAX_N，对于每个正整数i，计算dp[j] += dp[j - i]，表示将正整数i加入到分解中得到正整数j的分解种数。最后，根据输入的a输出对应的分解种数。

相关问题

给出一个正整数a，要求分解成若干个正整数的乘积，即a = a1 * a2 * a3 * ... * an，并且1 < a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an，问这样的分解的种数有多少。

### 回答1：
这是一个数学问题，需要使用数学方法来解决。具体来说，可以采用数论中的整数拆分方法，将正整数a拆分成若干个正整数的和，然后再将这些正整数进行排列组合，得到所有可能的分解方式。具体的计算方法比较复杂，需要使用数学公式和算法，不便在此一一列举。如果需要具体的计算结果，建议咨询数学专业人士或使用相关的数学软件进行计算。

### 回答2：
这是一个经典的分解正整数问题，也被称为整数分解问题。根据数学定理可知，每个正整数都可以唯一地表示成质数的乘积，我们可以通过利用这个定理来解决这个问题。

首先，我们需要找出正整数a的所有质因数。我们可以从小到大枚举正整数i，判断i是否是a的因数，如果是，则不断除以i来得到a的所有质因数。例如，对于a=12，我们可以找到它的质因数2和3。

接下来，我们需要找出所有满足条件的正整数乘积。由于a的所有质因数都已知，我们可以将它们按照升序排列，并考虑所有可能的乘积，从小到大枚举。例如，对于a=12，它的质因数为2和3，所有可能的乘积为1*2*3*4*6*12。

最后，我们需要计算出所有满足条件的正整数乘积的个数。可以使用动态规划来求解，令dp[i][j]表示使用前i个质因数构成j的方案数，则转移方程为：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j/i]，其中i为第i个质因数，j/i表示i的指数，dp[i-1][j]表示不使用第i个质因数，dp[i-1][j/i]表示使用第i个质因数。最终答案为dp[n][a]，其中n为质因数个数。

综上所述，给定正整数a，它的正整数乘积的种数为dp[n][a]，可以用动态规划解决。

### 回答3：
这是一个典型的数学问题，需要运用到数论及组合数学的知识。

首先，如果a=1或a=2时，无法进行上述的分解，因此这两种情况需要特殊处理。当a>2时，可以采用因数分解的方式将a分解成质因数的积，即a=p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km，其中p1、p2、...、pm为不同的质数，k1、k2、...、km为正整数。由于1 < a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an，因此每个ai都是a的因数，且ai至少为一个质数的幂，因此可以枚举所有的ai的质因子，从小到大地分配到各个ai中，直到所有的质因数都被分配完为止。例如，当a=12时，由于12=2^2 * 3，因此有以下的分解：

- 2 * 2 * 3
- 2 * 6
- 3 * 4
- 12

可以看出，以上的分解方式可以用一个数组来表示，例如{2,2,3}表示2*2*3的分解方式。显然，对于不同的质因子的分配顺序，得到的分解方式也是不同的，因此可以采用组合数学中的“有放回抽样”的方法，枚举每个质因子被分配到哪一个ai中，最终得到所有的分解方式。

具体地，假设a有m个不同的质因子，每个质因子可以被分配到n个不同的位置上，那么总的方案数为n^m。但是，由于每个ai要按升序排列，因此对于每个质因子，只能从当前位置的后面的位置中进行分配，否则就不满足升序排列的要求了。因此，对于第i个质因子，可以从第i个位置到第n个位置进行分配，那么总的方案数就是

C(n-1,0) * C(n,1) * C(n+1,2) * ... * C(n+m-2,m-1)

其中，C(n,m)表示从n个不同的元素中取出m个元素的组合数。可以发现，以上方案数的公式正好是一个组合数的乘积，即

C(n+m-2,m-1)

因此，a分解成若干个正整数的乘积的方案数就是上述的组合数。代码实现时，可以采用递归的方式进行分解，每次枚举当前质因子分配到哪一个位置上，直到所有质因子都被分配完为止。在实际应用中，由于计算组合数时需要用到阶乘，因此需要注意采用高精度算法，否则会出现溢出的问题。

给出一个正整数a，要求分解成若干个正整数的乘积，即a+=+a1+*+a2+*+a3+*+...+*+an，并且1+<+a1+<=+a2+<=+a3+<=+...+<=+an，问这样的分解的种数有多少。

# 定义递归函数
def dfs(n, m):
    global ans
    if n == 1:  # 如果n=1，说明分解完成，将答案加1
        ans += 1
        return
    for i in range(m, n + 1):  # 枚举因子
        if n % i == 0:  # 如果i是n的因子
            dfs(n // i, i)  # 递归分解n // i，从i开始枚举因子

# 主函数
if __name__ == '__main__':
    a = int(input())
    ans = 0  # 初始化答案
    dfs(a, 2)  # 从2开始枚举因子
    print(ans)