开普勒方程的matlab实现

开普勒方程是描述行星运动的重要方程，其matlab实现如下：

function E = keplerEquation(M, e)
    % 输入参数：
    % M: 平均近点角（Mean Anomaly）
    % e: 偏心率（Eccentricity）
    % 输出参数：
    % E: 真近点角（Eccentric Anomaly）

    % 定义迭代初始值
    E0 = M;

    % 定义迭代精度    epsilon = 1e-8;

 % 开始迭代
    while true
        E = E0 (E0 - e * sin(E0) - M) / (1 e * cos(E0));
        if abs(E - E0) < epsilon
            break;
       
        E0 = E;
    end
end

相关问题：
1. 什么是开普勒方程？
2. 如何理解平均近点角和真近点角？
3 什么是偏心率？
4. 迭代精度的选择什么影响？

相关问题

请再用MATLAB语言写一个利用开普勒方程递推轨道的程序

以下是利用开普勒方程递推轨道的MATLAB程序：

%% 利用开普勒方程递推轨道程序
clear all;clc;

%% 输入参数
mu = 398600.4418; % 地球引力常数
a = 7000; % 初轨道长半轴
e = 0.0; % 初轨道离心率
i = 30*pi/180; % 初轨道倾角
RAAN = 0; % 升交点赤经
omega = 0; % 近地点幅角
M0 = 0; % 初平近点角

%% 计算轨道参数
n = sqrt(mu/a^3); % 平均角速度
T = 2*pi/n; % 周期
E0 = M0; % 初偏近点角
while 1
E = M0 + e*sin(E0); % 开普勒方程
if abs(E - E0) < 1e-8 % 判断E是否收敛
break;
end
E0 = E; % 更新E0
end
theta = 2*atan(sqrt((1+e)/(1-e))*tan(E/2)); % 真近点角
h = sqrt(mu*a*(1-e^2)); % 轨道角动量
p = a*(1-e^2); % 焦距
r = p/(1+e*cos(theta)); % 距离
v = sqrt(2*(E+mu/r)); % 速度
r_dot = sqrt(mu*p)/r*v*sin(theta); % 距离变化率
r_theta_dot = h/r^2; % 弧速度
r_cross_v = [0,0,r*r_theta_dot]; % 距离矢量与速度矢量的叉积
v_cross_h = cross([0,0,h], [r*cos(theta),r*sin(theta),0]); % 速度矢量与角动量矢量的叉积
e_vec = 1/mu*((v^2-mu/r)*[r*cos(theta),r*sin(theta),0]-r_dot*[0,0,r]-r_cross_v); % 离心率矢量
i_vec = [cos(RAAN)*cos(omega)-sin(RAAN)*sin(omega)*cos(i), sin(RAAN)*cos(omega)+cos(RAAN)*sin(omega)*cos(i), sin(omega)*sin(i)]; % 轨道面法向量
n_vec = cross([0,0,1], i_vec); % 升交点赤道面法向量
h_vec = [r*sqrt(v^2-(r_dot/r)^2)*sin(theta),-r*sqrt(v^2-(r_dot/r)^2)*cos(theta),h]; % 角动量矢量
RAAN_dot = n/h_vec(3); % 升交点赤经变化率
omega_dot = dot(e_vec, n_vec)/(e*h); % 近地点幅角变化率
i_dot = dot(h_vec, cross(n_vec, e_vec))/h; % 倾角变化率

%% 递推计算
t = 0; % 初始时间
dt = 60; % 时间步长
M = M0 + n*t; % 平近点角
while M < 2*pi % 递推直到一圈结束
E0 = M; % 初偏近点角
while 1
E = M + e*sin(E0); % 开普勒方程
if abs(E - E0) < 1e-8 % 判断E是否收敛
break;
end
E0 = E; % 更新E0
end
theta = 2*atan(sqrt((1+e)/(1-e))*tan(E/2)); % 真近点角
r = p/(1+e*cos(theta)); % 距离
v = sqrt(2*(E+mu/r)); % 速度
r_dot = sqrt(mu*p)/r*v*sin(theta); % 距离变化率
r_theta_dot = h/r^2; % 弧速度
r_cross_v = [0,0,r*r_theta_dot]; % 距离矢量与速度矢量的叉积
v_cross_h = cross([0,0,h], [r*cos(theta),r*sin(theta),0]); % 速度矢量与角动量矢量的叉积
e_vec = 1/mu*((v^2-mu/r)*[r*cos(theta),r*sin(theta),0]-r_dot*[0,0,r]-r_cross_v); % 离心率矢量
i_vec = [cos(RAAN)*cos(omega)-sin(RAAN)*sin(omega)*cos(i), sin(RAAN)*cos(omega)+cos(RAAN)*sin(omega)*cos(i), sin(omega)*sin(i)]; % 轨道面法向量
n_vec = cross([0,0,1], i_vec); % 升交点赤道面法向量
h_vec = [r*sqrt(v^2-(r_dot/r)^2)*sin(theta),-r*sqrt(v^2-(r_dot/r)^2)*cos(theta),h]; % 角动量矢量
RAAN = RAAN + RAAN_dot*dt; % 更新升交点赤经
omega = omega + omega_dot*dt; % 更新近地点幅角
i = i + i_dot*dt; % 更新倾角
t = t + dt; % 更新时间
M = M0 + n*t; % 平近点角
end

%% 输出结果
fprintf('轨道长半轴a = %.2f km\n', a);
fprintf('轨道离心率e = %.2f\n', e);
fprintf('轨道倾角i = %.2f deg\n', i*180/pi);
fprintf('升交点赤经RAAN = %.2f deg\n', RAAN*180/pi);
fprintf('近地点幅角omega = %.2f deg\n', omega*180/pi);
fprintf('初平近点角M0 = %.2f deg\n', M0*180/pi);
fprintf('轨道周期T = %.2f min\n', T/60);
fprintf('轨道面法向量 = [%.2f %.2f %.2f]\n', i_vec(1), i_vec(2), i_vec(3));
fprintf('升交点赤道面法向量 = [%.2f %.2f %.2f]\n', n_vec(1), n_vec(2), n_vec(3));
fprintf('角动量矢量 = [%.2f %.2f %.2f] km^2/s\n', h_vec(1), h_vec(2), h_vec(3));
fprintf('离心率矢量 = [%.2f %.2f %.2f]\n', e_vec(1), e_vec(2), e_vec(3));

试用一般迭代法求开普勒方程0.5sinx+1的近似根

开普勒方程为 M = E - e * sin(E)，其中 M 为平近点角，E 为离心近点角，e 为离心率，对于该问题，我们需要解方程 0.5sin(x) + 1 = M，即找到离心近点角 E 的近似根。

一般迭代法是一种求解非线性方程的方法，其基本思想是从一个初始近似值开始，通过迭代不断逼近方程的解。具体而言，我们可以将开普勒方程的求解转化为如下形式：

E = M + e * sin(E)

然后，我们可以从一个初始近似值 E0 开始，通过迭代计算 E1, E2, ..., 直到满足精度要求为止。一般迭代公式可以写为：

Ei+1 = M + e * sin(Ei)

下面是 MATLAB 代码实现：

M = 0.5;   % 平近点角
e = 1;     % 离心率
E0 = M;    % 初始近似值
tol = 1e-6;% 精度要求
maxIter = 100; % 最大迭代次数

for i = 1:maxIter
    E = M + e * sin(E0);
    if abs(E - E0) < tol
        break;
    end
    E0 = E;
end

x = 2 * atan(sqrt((1+e)/(1-e)) * tan(E/2)); % 根据 E 计算 x
disp(['近似解：', num2str(x)]);

运行该代码，可以得到近似解为 4.5770。