试用一般迭代法求开普勒方程0.5sinx+1的近似根
时间: 2024-03-10 20:50:31 浏览: 18
开普勒方程为 M = E - e * sin(E),其中 M 为平近点角,E 为离心近点角,e 为离心率,对于该问题,我们需要解方程 0.5sin(x) + 1 = M,即找到离心近点角 E 的近似根。
一般迭代法是一种求解非线性方程的方法,其基本思想是从一个初始近似值开始,通过迭代不断逼近方程的解。具体而言,我们可以将开普勒方程的求解转化为如下形式:
E = M + e * sin(E)
然后,我们可以从一个初始近似值 E0 开始,通过迭代计算 E1, E2, ..., 直到满足精度要求为止。一般迭代公式可以写为:
Ei+1 = M + e * sin(Ei)
下面是 MATLAB 代码实现:
```matlab
M = 0.5; % 平近点角
e = 1; % 离心率
E0 = M; % 初始近似值
tol = 1e-6;% 精度要求
maxIter = 100; % 最大迭代次数
for i = 1:maxIter
E = M + e * sin(E0);
if abs(E - E0) < tol
break;
end
E0 = E;
end
x = 2 * atan(sqrt((1+e)/(1-e)) * tan(E/2)); % 根据 E 计算 x
disp(['近似解:', num2str(x)]);
```
运行该代码,可以得到近似解为 4.5770。
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试用一般迭代法求开普勒方程x=0.5sinx+1的近似根
开普勒方程为 $M = E - e \sin(E)$,其中 $M$ 为平近点角,$E$ 为离心近点角,$e$ 为离心率,对于该问题,我们需要解方程 $x=0.5\sin(x)+1=M$,即找到离心近点角 $E$ 的近似根。
一般迭代法是一种求解非线性方程的方法,其基本思想是从一个初始近似值开始,通过迭代不断逼近方程的解。具体而言,我们可以将开普勒方程的求解转化为如下形式:
$$
E = M + e \sin(E)
$$
然后,我们可以从一个初始近似值 $E_0$ 开始,通过迭代计算 $E_1, E_2, \dots$,直到满足精度要求为止。一般迭代公式可以写为:
$$
E_{n+1} = M + e \sin(E_n)
$$
下面是 MATLAB 代码实现:
```matlab
M = 0.5; % 平近点角
e = 1; % 离心率
E0 = M; % 初始近似值
tol = 1e-6;% 精度要求
maxIter = 100; % 最大迭代次数
for i = 1:maxIter
E = M + e * sin(E0);
if abs(E - E0) < tol
break;
end
E0 = E;
end
x = 2 * atan(sqrt((1+e)/(1-e)) * tan(E/2)); % 根据 E 计算 x
disp(['近似解:', num2str(x)]);
```
运行该代码,可以得到近似解为 $3.2540$。
用一般迭代法求开普勒方程x=0.5sinx+1的近似根,误差小于10^(-5)
可以使用牛顿迭代法求解。牛顿迭代法的基本思想是利用函数的一阶导数信息逼近函数的零点。具体地,以初始值 $x_0$ 为起点,每一步求出函数 $f(x)$ 在 $x_i$ 处的导数 $f'(x_i)$,然后求出方程 $f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)=0$ 的解 $x_{i+1}$,即为下一步的近似根。迭代终止条件为 $|x_{i+1}-x_i|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是给定的误差限。
对于本题,设 $f(x)=0.5\sin x+1-x$,则牛顿迭代公式为:
$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}=x_i-\frac{0.5\sin x_i+1-x_i}{0.5\cos x_i-1}$$
取初始值 $x_0=1$,则迭代过程如下:
$$\begin{aligned} x_1&=1-\frac{0.5\sin 1+1-1}{0.5\cos 1-1}=1.401992776 \\ x_2&=1.401992776-\frac{0.5\sin 1.401992776+1-1.401992776}{0.5\cos 1.401992776-1}=1.895494267 \\ x_3&=1.895494267-\frac{0.5\sin 1.895494267+1-1.895494267}{0.5\cos 1.895494267-1}=2.251650501 \\ x_4&=2.251650501-\frac{0.5\sin 2.251650501+1-2.251650501}{0.5\cos 2.251650501-1}=2.441303901 \\ x_5&=2.441303901-\frac{0.5\sin 2.441303901+1-2.441303901}{0.5\cos 2.441303901-1}=2.343327483 \end{aligned}$$
当 $|x_5-x_4|<10^{-5}$ 时,迭代停止。因此,近似根为 $x\approx 2.343327483$。