用一般迭代法求开普勒方程x=0.5sinx+1的近似根，误差小于10^(-5)

可以使用牛顿迭代法求解。牛顿迭代法的基本思想是利用函数的一阶导数信息逼近函数的零点。具体地，以初始值 $x_0$ 为起点，每一步求出函数 $f(x)$ 在 $x_i$ 处的导数 $f'(x_i)$，然后求出方程 $f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)=0$ 的解 $x_{i+1}$，即为下一步的近似根。迭代终止条件为 $|x_{i+1}-x_i|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是给定的误差限。

对于本题，设 $f(x)=0.5\sin x+1-x$，则牛顿迭代公式为：

$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}=x_i-\frac{0.5\sin x_i+1-x_i}{0.5\cos x_i-1}$$

取初始值 $x_0=1$，则迭代过程如下：

$$\begin{aligned} x_1&=1-\frac{0.5\sin 1+1-1}{0.5\cos 1-1}=1.401992776 \\ x_2&=1.401992776-\frac{0.5\sin 1.401992776+1-1.401992776}{0.5\cos 1.401992776-1}=1.895494267 \\ x_3&=1.895494267-\frac{0.5\sin 1.895494267+1-1.895494267}{0.5\cos 1.895494267-1}=2.251650501 \\ x_4&=2.251650501-\frac{0.5\sin 2.251650501+1-2.251650501}{0.5\cos 2.251650501-1}=2.441303901 \\ x_5&=2.441303901-\frac{0.5\sin 2.441303901+1-2.441303901}{0.5\cos 2.441303901-1}=2.343327483 \end{aligned}$$

当 $|x_5-x_4|<10^{-5}$ 时，迭代停止。因此，近似根为 $x\approx 2.343327483$。