正态分布下德最大似然估计
时间: 2023-11-17 14:07:52 浏览: 40
正态分布下的最大似然估计是指,已知一组样本数据,通过对这组数据进行统计分析,得到正态分布的参数估计值,使得这组数据出现的概率最大。在正态分布中,最大似然估计的参数包括均值和方差。
具体来说,设样本数据为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$,则正态分布的概率密度函数为:
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$
其中,$\mu$ 和 $\sigma$ 分别为正态分布的均值和标准差。根据最大似然估计的原理,我们需要找到一组参数 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$,使得样本数据出现的概率最大。
设样本数据的联合概率密度函数为:
$$
L(\mu,\sigma)=\prod_{i=1}^n f(x_i)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$
则最大似然估计的参数 $\hat{\mu}$ 和 $\hat{\sigma}$ 分别满足以下方程:
$$
\frac{\partial L(\mu,\sigma)}{\partial \mu}=0,\quad \frac{\partial L(\mu,\sigma)}{\partial \sigma}=0
$$
解这组方程可以得到:
$$
\hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\quad \hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\hat{\mu})^2}
$$
这就是正态分布下的最大似然估计。