R语言求正态总体方差的最大似然估计

假设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的一个样本，其中 $\mu$ 已知，求 $\sigma^2$ 的最大似然估计。

正态分布的概率密度函数为：

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$

样本的似然函数为：

$$
L(\sigma^2|x_1,x_2,\cdots,x_n) = \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma})^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}
$$

对数似然函数为：

$$
\log L(\sigma^2|x_1,x_2,\cdots,x_n) = -\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{n}{2}\log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2
$$

对 $\sigma^2$ 求导得到：

$$
\frac{\partial}{\partial \sigma^2}\log L(\sigma^2|x_1,x_2,\cdots,x_n) = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2
$$

令上式等于0，解得：

$$
\hat{\sigma^2}_{MLE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2
$$

所以，R语言中求正态总体方差的最大似然估计代码为：

mu <- 0 # 已知的mu值
x <- c(1, 2, 3, 4, 5) # 样本数据

sigma2_mle <- sum((x - mu)^2) / length(x) # 求最大似然估计