设有n个人围坐在一个圆桌周围,现从第s个人开始报数,数到第m的人出列,然后从出列的
时间: 2023-12-13 07:01:19 浏览: 124
人开始重新报数,直到最后只剩下一个人为止。这个问题可以使用数学归纳法来解决。首先考虑边界情况,当n=1时,只剩下一个人,他就是最后留下的人。接下来考虑一般情况下的解法。
假设当n=k时,解的编号为f(k, m),即表示k个人围坐在圆桌周围,数到第m的人出列后,最后留下的人的编号为f(k, m)。下面考虑当n=k+1时的情况。
我们可以将n=k+1的问题转化为n=k的问题。假设在n=k的问题中,解的编号为x,则在n=k+1的问题中,解的编号为(x+m-2)%k+1,即将索引号从1开始重新编号。证明如下:
设x'为n=k+1的问题中数到第m的人出列后的最后留下的人的编号,根据问题要求,我们知道x'为第x个人数到m+1的人的编号。根据环形的特性,当数到第m+1的人时,其实就等于数到第1个人,所以第x个人就是第x'个人数到第m+1的人。
根据上面的分析,我们知道当n=k+1时,解的编号为(x+m-2)%k+1。而当n=1时,最后留下的人的编号为f(1, m)=1。将上述推导过程结合起来,我们可以得到递推公式:
f(1, m) = 1
f(k, m) = (f(k-1, m) + m - 2) % k + 1
利用递推公式,我们可以求解出f(n, m)。这个问题通常被称为约瑟夫环问题,已经有很多解法被提出,在时间复杂度和空间复杂度上有所差异。
相关问题
设有n个人围坐在一个圆桌周围,现从第s个人开始报数,数到第m的人出列,然后从出列的下一个人重新开始报数,数到m的人又出列,如此重复,直到所有的人全部出列为止。josephus问题是:对于任意给定的n,
Josephus问题是一个关于任意给定的n个人围坐在一个圆桌周围,现从第s个人开始报数,报到第m个人出列,然后从出列的下一个人开始继续报数,重复上述过程,直到最后剩下一个人的问题。如果按照任意给定的起始位置和报数间隔,最后剩下的人的编号都是相同的。
有n个人围坐在一个圆桌周围,从第s个人开始报数,数到第m的人出列,然后从出列的下一个人重新开始报数,数到m的人又出列,如此重复,直到所有的人全部出列为止。求按出列次序得到的n个人员的顺序表。
解法一:模拟约瑟夫环
模拟约瑟夫环的思路是:使用一个循环链表模拟所有人围坐在圆桌周围,从第s个人开始报数,每次数到第m个人就将其从链表中删除,直到链表为空,即所有人都已出列。删除链表中的某个节点时,需要知道该节点的前一个节点,这可以通过将链表的最后一个节点指向头节点来实现。
在模拟过程中,我们可以使用一个数组来记录所有出列人员的编号,最后返回这个数组。
时间复杂度:O(nm)
代码如下:
```python
def josephus(n, s, m):
# 初始化循环链表
circle = [i+1 for i in range(n)]
cur = s-1
result = []
# 模拟约瑟夫环
while circle:
cur = (cur + m - 1) % len(circle)
result.append(circle.pop(cur))
return result
```
解法二:数学公式
约瑟夫环问题可以使用数学公式求解,而无需模拟整个过程。
设 f(n,m) 表示有 n 个人围成一圈,每次从第 m 个人开始报数,数到第 m 个人出列,最后剩下的人的编号。当 n=1 时,f(n,m)=0;当 n>1 时,第一次出列的人的编号为 k=(m-1)%n,剩下的 n-1 个人构成了一个新的约瑟夫环,从第 k+1 个人开始报数,数到第 m 个人时,对于这个约瑟夫环,出列的人的编号是 x=f(n-1,m),由于出列的人是从 k 开始数的第 m 个人,所以在原始的 n 个人中,出列的人的编号是 (x+k)%n。因此,有:
f(1,m) = 0
f(n,m) = (f(n-1,m) + m) % n (n>1)
最终的出列顺序可以通过递归计算 f(n,m) 得到,每次出列的人的编号可以通过上一次出列的人的编号和 m 计算得到。
时间复杂度:O(n)
代码如下:
```python
def josephus(n, s, m):
def f(n, m):
if n == 1:
return 0
return (f(n-1, m) + m) % n
start = (s + m - 2) % n + 1
return [(i+start-1)%n+1 for i in range(n)]
```
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