给出第一个关节为回转关节、第二和第三关节为旋转关节的3自由度机器人的DH矩阵
时间: 2024-05-26 16:13:12 浏览: 23
假设机器人的起始坐标系为 $O_0$,末端执行器坐标系为 $O_3$,则该机器人的 DH 参数表如下:
| i | $a_{i-1}$ | $\alpha_{i-1}$ | $d_i$ | $\theta_i$ |
| - | --------- | -------------- | ----- | ---------- |
| 1 | 0 | 0 | $d_1$ | $\theta_1$ |
| 2 | $a_1$ | $\alpha_1$ | 0 | $\theta_2$ |
| 3 | $a_2$ | $\alpha_2$ | 0 | $\theta_3$ |
其中,$a_{i-1}$ 表示 $Z_{i-1}$ 轴与 $Z_i$ 轴之间的距离,$\alpha_{i-1}$ 表示 $Z_{i-1}$ 轴与 $Z_i$ 轴之间的夹角,$d_i$ 表示 $X_{i-1}$ 轴与 $X_i$ 轴之间的距离,$\theta_i$ 表示 $Z_{i-1}$ 轴与 $Z_i$ 轴的夹角。
根据上述 DH 参数表,可以得到各关节的变换矩阵:
$${}^0_1T = \begin{bmatrix}
\cos\theta_1 & -\sin\theta_1 & 0 & 0 \\
\sin\theta_1 & \cos\theta_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & d_1 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
$${}^1_2T = \begin{bmatrix}
\cos\theta_2 & -\sin\theta_2 & 0 & a_1 \\
\sin\theta_2 & \cos\theta_2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
$${}^2_3T = \begin{bmatrix}
\cos\theta_3 & -\sin\theta_3 & 0 & a_2 \\
\sin\theta_3 & \cos\theta_3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
则该机器人的正向运动学变换矩阵为:
$${}^0_3T = {}^0_1T \times {}^1_2T \times {}^2_3T$$
将上述变换矩阵按 DH 参数表中的顺序依次相乘,可得:
$${}^0_3T = \begin{bmatrix}
\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3 - \sin\theta_1\sin\theta_3 & -\cos\theta_1\cos\theta_2\sin\theta_3 - \cos\theta_3\sin\theta_1 & \cos\theta_1\sin\theta_2 & a_1\cos\theta_1\cos\theta_2 + a_2\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3 - a_2\cos\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3 \\
\cos\theta_2\cos\theta_3\sin\theta_1 + \cos\theta_1\sin\theta_3 & \cos\theta_1\cos\theta_3 - \cos\theta_2\sin\theta_1\sin\theta_3 & \sin\theta_1\sin\theta_2 & a_1\cos\theta_2\sin\theta_1 + a_2\cos\theta_2\cos\theta_3\sin\theta_1 - a_2\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3 \\
\cos\theta_3\sin\theta_2 & -\sin\theta_2\sin\theta_3 & \cos\theta_2 & d_1 + a_1\sin\theta_2 + a_2\cos\theta_3\sin\theta_2 + a_2\cos\theta_2\sin\theta_3 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$$
其中,$a_1$、$a_2$、$\alpha_1$、$\alpha_2$、$d_1$ 分别为相邻两关节的距离和旋转轴之间的夹角。
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