算法设计与分析 n皇后问题 分支限界法

### N皇后问题的分支限界法算法设计与分析

#### 1. 问题描述
N皇后问题是经典的组合优化问题之一，目标是在 \(n \times n\) 的棋盘上放置 n 个皇后，使得任意两个皇后都不能互相攻击。这意味着任何两个皇后不能位于同一行、同一列或同一条对角线上。

#### 2. 分支限界法简介
分支限界法是一种用于求解离散最优化问题的方法，在搜索过程中通过剪枝来减少不必要的节点扩展。该方法适用于那些可以逐步构建解决方案并能提前判断部分解是否可行的问题[^1]。

#### 3. 队列式分支限界法的设计思路
为了应用分支限界法解决N皇后问题，采用队列作为待处理状态的数据结构。初始状态下仅包含根结点；每次迭代时取出当前层的第一个元素展开其子树，并将满足条件的孩子加入到新的层次中继续探索直到找到合法配置为止。

具体实现如下：

- **初始化**：创建一个空列表 `queue` 来存储活结点表，以及一个变量 `solution_count` 记录已发现的有效布局数量。

- **边界函数**：定义辅助函数 `_is_safe(row, col)` 判断给定位置 `(row,col)` 是否安全可放皇后。

- **回溯过程**
- 如果已经到达最后一行，则表示找到了一组有效摆放方式；
- 否则尝试在每一列内依次测试能否放下新皇后，如果当前位置符合条件就将其压入栈顶形成新的路径供后续考察。

from collections import deque

def solve_n_queens(n):
    queue = deque([([], set(), set())])  # (placements, cols_used, diag_sum_used)
    solutions = []

    while queue:
        placements, used_cols, sum_diags = queue.popleft()
        
        row = len(placements)

        if row == n:
            solutions.append(['.'*i + 'Q' + '.'*(n-i-1) for i in placements])
            continue
        
        for col in range(n):
            if col not in used_cols and \
               (col-row) not in {c-r for r,c in enumerate(used_cols)} and \
               (col+row) not in {(r+c) for r,c in enumerate(sum_diags)}:

                new_placements = placements + [col]
                new_used_cols = used_cols | {col}
                new_diag_sums = sum_diags | {col+row}

                queue.append((new_placements, new_used_cols, new_diag_sums))

    return solutions

此代码片段展示了如何利用Python中的双端队列(`deque`)模拟广度优先遍历的过程，从而有效地实现了基于分支界限策略下的N皇后的求解器。