转置矩阵算法设计，要求有问题分析，算法步骤，核心代码，用C++实现

转置矩阵是一种常见的线性代数操作，它交换矩阵行和列的位置。对于给定的一个矩阵A，其转置记作A^T。设计转置矩阵算法通常涉及到以下几个步骤：

**问题分析**：
- 矩阵大小：矩阵需要预先确定大小，因为转置会改变其维度。
- 数据结构：为了高效地访问元素，我们通常使用二维数组或动态数组表示矩阵。
- 时间复杂度：理想情况下，我们需要对每个元素进行一次操作，因此时间复杂度应该是O(n^2)，其中n是矩阵的行或列数。

**算法步骤**：
1. 定义一个新的矩阵B，与原矩阵A具有相同的列数和行数。
2. 遍历原矩阵A的每一个元素（i为行索引，j为列索引），将A[i][j]赋值给新矩阵B[j][i]。
3. 返回新的转置矩阵B。

**核心代码（C++实现）**：

#include <vector>

std::vector<vector<int>> transposeMatrix(const std::vector<std::vector<int>>& matrix) {
    int n = matrix.size();
    if (n == 0 || matrix[0].size() != n) {
        throw std::invalid_argument("Invalid matrix dimensions");
    }

    std::vector<vector<int>> transposed(n, std::vector<int>(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            transposed[j][i] = matrix[i][j];
        }
    }
    
    return transposed;
}

在这个例子中，函数`transposeMatrix`接收一个二维整数向量作为输入，并返回它的转置。如果输入矩阵的尺寸不符合预期，函数还会抛出异常。

**相关问题--**:
1. 这段代码的时间复杂度是多少？
2. 如果需要处理大规模矩阵，如何优化这个转置算法？
3. 当矩阵非常大时，内存管理上有什么挑战？