应用python，用五点差分格式计算如下问题：−∆u = (π2 − 1)exsin(πy), 0 < x < 2, 0 < y < 1；u(0, y) = sin(πy), u(2, y) = e2sin(πy), 0 ≤ y ≤ 1；u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0, 0 < x < 2.将 [0, 2] 作 m1 等分，将 [0, 1] 作 m2 等分。用消元法、Gauss-Seidel 迭代法求解对应的差分方程组，精确至 ∥ u(l+1) − u(l) ∥∞≤0.5×10−10.并进行画图以将结果可视化

为了使用五点差分格式求解该差分方程，并进行可视化，我们可以进行如下步骤：

1. 离散化区域：将 [0, 2] 按照 m1 等分，将 [0, 1] 按照 m2 等分，定义步长 hx = 2/m1 和 hy = 1/m2。

2. 构建线性方程组：根据离散化的差分格式和边界条件，可以构建一个 (m1+1) x (m2+1) 的线性方程组。

3. 使用消元法或Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组：根据所选的方法，求解线性方程组，直到满足收敛条件。

4. 可视化结果：使用 matplotlib 库将数值解进行可视化，绘制二维热图。

以下是一个示例的 Python 代码，使用消元法和 Gauss-Seidel 迭代法求解差分方程，并进行可视化：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def solve_by_elimination(m1, m2):
    hx = 2 / m1
    hy = 1 / m2
    N = (m1 + 1) * (m2 + 1)
    A = np.zeros((N, N))
    b = np.zeros(N)

    # 构建线性方程组系数矩阵和右侧向量
    for i in range(1, m1):
        for j in range(1, m2):
            k = i * (m2 + 1) + j
            A[k, k] = -2 / hx**2 - 2 / hy**2
            A[k, k-1] = 1 / hx**2
            A[k, k+1] = 1 / hx**2
            A[k, k-(m2+1)] = 1 / hy**2
            A[k, k+(m2+1)] = 1 / hy**2
            b[k] = (np.pi**2 - 1) * np.exp(i * hx) * np.sin(np.pi * j * hy)

    # 处理边界条件
    for j in range(m2 + 1):
        k = j
        A[k, k] = 1
        b[k] = np.sin(np.pi * j * hy)
        k = m1 * (m2 + 1) + j
        A[k, k] = 1
        b[k] = np.exp(2) * np.sin(np.pi * j * hy)
    for i in range(m1 + 1):
        k = i * (m2 + 1)
        A[k, k] = 1
        b[k] = 0
        k = i * (m2 + 1) + m2
        A[k, k] = 1
        b[k] = 0

    # 求解线性方程组
    u = np.linalg.solve(A, b)

    return u.reshape((m1+1, m2+1))

def solve_by_gauss_seidel(m1, m2):
    hx = 2 / m1
    hy = 1 / m2
    N = (m1 + 1) * (m2 + 1)
    u = np.zeros(N)

    # 构建线性方程组系数矩阵和右侧向量
    A = np.zeros((N, N))
    b = np.zeros(N)
    for i in range(1, m1):
        for j in range(1, m2):
            k = i * (m2 + 1) + j
            A[k, k] = -2 / hx**2 - 2 / hy**2
            A[k, k-1] = 1 / hx**2
            A[k, k+1] = 1 / hx**2
            A[k, k-(m2+1)] = 1 / hy**2
            A[k, k+(m2+1)] = 1 / hy**2
            b[k] = (np.pi**2 - 1) * np.exp(i * hx) * np.sin(np.pi * j * hy)

    # 迭代求解线性方程组
    max_iter = 1000  # 最大迭代次数
    tol = 0.5e-10  # 收敛精度
    for iter in range(max_iter):
        u_new = u.copy()
        for i in range(1, m1):
            for j in range(1, m2):
                k = i * (m2 + 1) + j
                u_new[k] = (b[k] - (A[k, :k] @ u_new[:k] + A[k, k+1:] @ u[k+1:])) / A[k, k]
        if np.linalg.norm(u_new - u, ord=np.inf) < tol:
            break
        u = u_new

    return u.reshape((m1+1, m2+1))

# 设置网格参数
m1 = 10  # x方向网格点数
m2 = 10  # y方向网格点数

# 使用消元法求解差分方程组
u_elimination = solve_by_elimination(m1, m2)

# 使用Gauss-Seidel迭代法求解差分方程组
u_gauss_seidel = solve_by_gauss_seidel(m1, m2)

# 绘制数值解的热图
x = np.linspace(0, 2, m1+1)
y = np.linspace(0, 1, m2+1)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.imshow(u_elimination.T, origin='lower', extent=[0, 2, 0, 1], cmap='hot')
plt.colorbar(label='u(x, y)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Numerical Solution by Elimination')
plt.show()

plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.imshow(u_gauss_seidel.T, origin='lower', extent=[0, 2, 0, 1], cmap='hot')
plt.colorbar(label='u(x, y)')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Numerical Solution by Gauss-Seidel')
plt.show()

通过上述代码，我们可以得到消元法和Gauss-Seidel迭代法求解差分方程组的数值解，并可视化为热图。你可以根据需要调整网格参数，以及修改收敛精度和最大迭代次数来满足精度要求。