−∆u = (π2 − 1)exsin(πy), 0 < x < 2, 0 < y < 1,
时间: 2024-04-15 16:30:49 浏览: 21
如果你想使用五点差分格式来计算上述偏微分方程的数值解,可以使用离散化的方法将问题转化为线性方程组,并通过求解该方程组得到数值解。
以下是一个示例的Python代码,使用五点差分格式来求解该偏微分方程的数值解:
```python
import numpy as np
# 定义问题的参数
a = 1.0
b = 0.0
c = -1.0
f = lambda x, y: (np.pi**2 - 1) * np.exp(x) * np.sin(np.pi * y)
# 定义网格参数
Nx = 10 # x方向离散点数
Ny = 10 # y方向离散点数
Lx = 2.0 # x方向长度
Ly = 1.0 # y方向长度
hx = Lx / (Nx + 1) # x方向步长
hy = Ly / (Ny + 1) # y方向步长
# 初始化网格和解向量
x = np.linspace(0, Lx, Nx + 2)
y = np.linspace(0, Ly, Ny + 2)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
U = np.zeros((Nx + 2, Ny + 2))
# 设置边界条件
U[:, 0] = f(x, 0) # 下边界
U[:, -1] = f(x, Ly) # 上边界
U[0, :] = f(0, y) # 左边界
U[-1, :] = f(Lx, y) # 右边界
# 构造线性方程组
A = np.zeros((Nx + 2, Ny + 2))
b = np.zeros((Nx + 2, Ny + 2))
for i in range(1, Nx + 1):
for j in range(1, Ny + 1):
A[i, j] = -2 / hx**2 - 2 / hy**2 - c
A[i, j-1] = 1 / hy**2
A[i, j+1] = 1 / hy**2
A[i-1, j] = 1 / hx**2
A[i+1, j] = 1 / hx**2
b[i, j] = f(x[i], y[j])
# 求解线性方程组
U[1:Nx+1, 1:Ny+1] = np.linalg.solve(A[1:Nx+1, 1:Ny+1], b[1:Nx+1, 1:Ny+1])
# 输出数值解
print(U)
```
请注意,上述代码使用了NumPy库来进行数组操作和线性方程组的求解。你可以根据实际情况进行调整和优化,比如修改网格参数、使用其他数值求解方法等。
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