用matlab五点差分格式求解−∆u = (π 2 − 1)e x sin(πy),

好的，下面是用 MATLAB 实现五点差分格式求解偏微分方程的代码：

% 求解偏微分方程 -∆u = (π^2 - 1) * exp(x) * sin(πy)
% 在区域 [0,1] × [0,1] 上使用五点差分格式
% 边界条件为 u(x,0) = u(x,1) = u(0,y) = u(1,y) = 0

% 设置求解区域和网格数
a = 0; b = 1; c = 0; d = 1;
M = 100; N = 100;

% 初始化 U 矩阵，边界条件为 0
U = zeros(M+1,N+1);

% 设置迭代误差阈值和最大迭代次数
tol = 1e-5;
maxiter = 1000;

% 迭代求解
for iter = 1:maxiter
    % 备份上一次迭代的 U 矩阵
    U_old = U;
    
    % 在内部网格点处使用五点差分格式求解
    for i = 2:M
        for j = 2:N
            U(i,j) = (U(i-1,j) + U(i+1,j) + U(i,j-1) + U(i,j+1) + (pi^2 - 1) * exp((i/M)*(b-a)) * sin(pi*(j/N)*(d-c)))/(4 + 2*(pi^2 - 1) * (b-a)^2 / M^2);
        end
    end
    
    % 判断迭代是否收敛
    if max(max(abs(U - U_old))) < tol
        break;
    end
end

% 绘制结果
[x,y] = meshgrid(linspace(a,b,M+1),linspace(c,d,N+1));
surf(x,y,U');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('u(x,y)');
title('Numerical solution using five-point difference method');

这段代码中，我们先设置了求解区域 [0,1] × [0,1] 和网格数 M = N = 100，然后初始化 U 矩阵为 0，并在边界处设置为 0。接着使用五点差分格式进行迭代求解，直到误差小于某个预设的阈值或达到最大迭代次数为止。最后，我们绘制了数值解的图像。

需要注意的是，由于五点差分格式的精度和收敛速度与步长 h 有关，因此在实际使用中需要根据求解精度和计算效率的需求进行调整。