分别用Richardson格式(3.1.10)和Du Fort-Frankel格式(3.1.14)计算定解问题 ∂u ∂t = ∂ 2u ∂x2 + sin t, 0 < x < 1, 0 < t ≤ 1, (2.1) 相应初边界条件由该问题的精确解u(x, t) = e −π 2 t cos πx + (1 − cost)确定. 定义最大误差 E∞(h, τ ) = max 0≤i≤M,0≤k≤N |u(xi , tn) − u n i |.的matlab程序
时间: 2023-11-22 08:04:57 浏览: 42
好的,我们可以用 Matlab 实现 Richardson 格式和 Du Fort-Frankel 格式对该问题进行数值求解,并计算最大误差 E∞(h, τ)。
首先,我们同样需要确定差分格式的离散化步长。我们将区间 [0,1] 均分成 M 个小区间,将时间区间 [0,1] 均分成 N 个小区间。令 h = 1/M,τ = 1/N,即 Δx = h,Δt = τ。
接下来,我们先实现 Richardson 格式的程序代码:
```matlab
M = 100; % 区间 [0,1] 均分为 M 个小区间
N = 1000; % 时间区间 [0,1] 均分为 N 个小区间
h = 1/M; % 空间步长
tau = 1/N; % 时间步长
% 初始化 u(x,t) 数组
u = zeros(M+1, N+1);
t = linspace(0, 1, N+1);
x = linspace(0, 1, M+1);
u(:,1) = cos(pi*x);
% 使用 Richardson 格式递推求解 u(x,t) 的数值解
for n = 1:N
for i = 2:M
u(i,n+1) = u(i,n) + tau/(h^2) * (u(i+1,n) - 2*u(i,n) + u(i-1,n)) + tau*sin(t(n+1));
end
end
% 计算最大误差 E∞(h, τ)
E_inf = max(max(abs(u - (exp(-pi^2*t.')) * cos(pi*x) - (1 - cos(t.')))));
disp(['Richardson格式的最大误差 E_inf(h,tau) = ', num2str(E_inf)]);
```
接下来,我们实现 Du Fort-Frankel 格式的程序代码:
```matlab
M = 100; % 区间 [0,1] 均分为 M 个小区间
N = 1000; % 时间区间 [0,1] 均分为 N 个小区间
h = 1/M; % 空间步长
tau = 1/N; % 时间步长
% 初始化 u(x,t) 数组
u = zeros(M+1, N+1);
t = linspace(0, 1, N+1);
x = linspace(0, 1, M+1);
u(:,1) = cos(pi*x);
% 使用 Du Fort-Frankel 格式递推求解 u(x,t) 的数值解
for n = 1:N
for i = 2:M
u(i,n+1) = u(i,n-1) + 2*tau/(h^2) * (u(i+1,n) - 2*u(i,n) + u(i-1,n)) + 2*tau*sin(t(n+1));
end
end
% 计算最大误差 E∞(h, τ)
E_inf = max(max(abs(u - (exp(-pi^2*t.')) * cos(pi*x) - (1 - cos(t.')))));
disp(['Du Fort-Frankel格式的最大误差 E_inf(h,tau) = ', num2str(E_inf)]);
```
以上程序将输出 Richardson 格式和 Du Fort-Frankel 格式的最大误差 E_inf(h,τ)。
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