如果有一个正整数N,能被2520整除,则N就是完美数。现有一个非常大的正整数M,最高位为1,其余均为0,请计算在[1,M]范围内有多少个完美数C++代码
时间: 2023-12-21 21:07:09 浏览: 109
以下是C++代码:
```c++
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1e18; // 最大范围
const int DIVISOR = 2520; // 除数
int main() {
long long ans = 0; // 完美数的个数
long long i = DIVISOR; // 从第一个完美数开始计算
while (i <= MAXN) {
ans++; // 完美数个数加1
i += DIVISOR; // 下一个完美数
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
```
注意:由于M非常大,直接枚举所有数判断是否能被2520整除会超时,因此我们可以使用等差数列求和的思想,从第一个完美数开始,每次加上2520,直到超过M为止,这样可以大大减少计算量。
相关问题
如果有一个正整数N,能被2520整除,则N就是完美数。现有一个非常大的正整数M,最高位为1,其余均为0,请计算在[1,M][1,M]范围内有多少个完美数。输入一个正整数M完美数的个数
根据题意,可以得知完美数是能被2520整除的正整数。而2520可以分解成$2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7$,因此一个数能够被2520整除,必须包含$2^3$,$3^2$,$5$,$7$这四个质因数。那么我们只需要统计1到M中包含这四个质因数的数的个数即可。
设$f_1(n)$表示1到n中包含质因数2的数的个数,$f_2(n)$表示1到n中包含质因数3的数的个数,$f_3(n)$表示1到n中包含质因数5的数的个数,$f_4(n)$表示1到n中包含质因数7的数的个数。那么1到M中包含这四个质因数的数的个数就是$f_1(M)f_2(M)f_3(M)f_4(M)$。
对于$f_1(n)$,可以发现,1到n中每隔2个数就会出现一个包含质因数2的数,每隔4个数就会出现一个包含2的平方的数,每隔8个数就会出现一个包含2的立方的数,以此类推。因此$f_1(n)=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{4}\rfloor+\lfloor\frac{n}{8}\rfloor+\cdots$。
同理,$f_2(n),f_3(n),f_4(n)$也可以用类似的方法计算。代码如下:
如果有一个正整数N,能被2520整除,则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M,最高位为1,其余均为0,请计算在[1,M][1,M]范围内有多少个完美数。 输入 输入一个正整数M 输出 完美数的个数
这道题需要先了解什么是“最小公倍数”和什么是“完美数”。
最小公倍数:两个数a、b的最小公倍数是能够同时被a和b整除的最小正整数。我们可以通过求两个数的最大公约数来计算它们的最小公倍数。
完美数:一个正整数n是完美数,当且仅当它等于除自身外的所有正因子之和。例如,6是完美数,因为6 = 1 + 2 + 3。
根据题意,我们需要找到在[1,M]范围内能够被2520整除的完美数的个数。由于2520是1~10中所有正整数的最小公倍数,因此我们只需要找到1~10中的完美数,然后再根据M的位数来计算出[1,M]范围内的完美数的个数。
1~10中的完美数有6个,分别是6、28、496、8128、33550336、8589869056。
假设M的位数为n,则[1,M]范围内的最小数为1,最大数为$10^n-1$。因此,[1,M]范围内的完美数个数为:
$\lfloor\frac{10^n-1}{2520}\rfloor\times6$
其中,$\lfloor x \rfloor$ 表示不大于x的最大整数。
下面是Python代码实现:
```python
import math
m = int(input())
n = len(str(m))
perfect_nums = [6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056]
count = math.floor((10**n-1)/2520) * 6
print(count)
```
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