c++如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M][1,M]范围内有多少个完美数。 输入 输入一个正整数M 输出 完美数的个数

这道题可以使用容斥原理来解决。

首先，我们计算出在[1,M]中能被2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97中的任意一个整除的数的个数，设为cnt1；

然后，我们计算出在[1,M]中能被(2*3)、(2*5)、(2*7)、...、(97*89)、(97*97)中的任意一个整除的数的个数，设为cnt2；

接着，我们计算出在[1,M]中能被(2*3*5)、(2*3*7)、(2*3*11)、...、(97*89*83)、(97*89*97)中的任意一个整除的数的个数，设为cnt3；

以此类推，我们可以计算出能被(2*3*5*7*11*...*97)中的任意一个整除的数的个数，设为cntk。

最后，我们将所有的cnt1、cnt2、cnt3、...、cntk相加，就可以得到在[1,M]中能被2520整除的数的个数。

相关问题

c++ 如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数。

这道题可以使用容斥原理来求解。

首先，我们知道2520是一个包含了所有小于等于10的数字的最小公倍数。因此，如果一个数能够被2520整除，那么它一定能够被1至10之间的所有数字整除。

现在我们要求[1,M]范围内的完美数个数，我们可以考虑分别计算能被1至10中的1个数字整除的数的个数、能被2个数字整除的数的个数、能被3个数字整除的数的个数，以此类推。

设f(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，则答案为：

f(1) - f(2) + f(3) - f(4) + ... + (-1)^(k+1) * f(k) + ...

其中k表示最多能被10个数字整除的数的个数，当k大于10时，f(k)为0。

现在我们只需要求出f(x)即可。考虑使用递推的方法求解。

设g(x)为1到x中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y。则有：

g(x, y) = g(x-1, y) + g(x/y, y-1)

其中g(x-1, y)表示1至x-1中能够被1至10中x-1个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y；g(x/y, y-1)表示1至x/y中能够被1至10中x个数字整除的数的个数，并且最大的因子为y-1。

边界条件为g(1, y) = 1，g(x, 1) = [x能够被1至10中x个数字整除]。

最终的代码如下：

如果有一个正整数N，能被2520整除，则N就是完美数。 现有一个非常大的正整数M，最高位为1，其余均为0，请计算在[1,M]范围内有多少个完美数.C++

这道题可以通过枚举1到M中所有的数，判断是否能被2520整除来解决。但是由于数据范围非常大，直接枚举会超时，因此需要优化。

我们可以先将1到M中的所有数按照2520为一组分组，每组中有2520个数。然后对于每一组，我们判断2520是否能整除这一组中的所有数。如果能整除，则这一组中的所有数都是完美数，可以直接计入答案。

对于最后一组，由于不一定有2520个数，我们需要单独处理。可以直接枚举这一组中的所有数，判断是否能被2520整除。

下面是C++代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

const int groupSize = 2520; // 每组的大小
int groupCount; // 分组的数量

// 判断n是否为完美数
bool isPerfect(int n) {
    return n % 2520 == 0;
}

// 统计1~n中的完美数个数
int countPerfect(int n) {
    groupCount = (n + groupSize - 1) / groupSize; // 计算分组的数量
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < groupCount; i++) {
        if (isPerfect(i * groupSize)) {
            ans += groupSize;
        }
    }
    // 处理最后一组
    int lastGroupStart = (groupCount - 1) * groupSize + 1;
    for (int i = lastGroupStart; i <= n; i++) {
        if (isPerfect(i)) {
            ans++;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int m = 1000000000; // 最大值
    cout << countPerfect(m) << endl; // 输出完美数的个数
    return 0;
}