Ar = U[:, :r] @ np.diag(S[:r]) @ V[:r, :]中的r怎么确定

在截断奇异值分解中，我们需要决定保留多少个奇异值。这个数字通常称为截断因子，用 $r$ 表示。

通常情况下，我们可以通过观察奇异值向量 $S$ 的衰减情况来选择截断因子 $r$。我们可以将 $S$ 绘制成折线图，观察随着奇异值的增大，其相对大小的变化情况。一般来说，当奇异值变得很小，且其相对大小的变化也不大时，就可以选择截断因子 $r$。

通常情况下，可以将截断因子 $r$ 取为使得保留的奇异值所占比例达到某个设定阈值。例如，我们可以将阈值设为 $0.9$，然后选取最小的 $r$，使得前 $r$ 个奇异值的累计比例大于 $0.9$。具体来说，我们可以计算奇异值向量 $S$ 的累计比例：

$$ p_k = \frac{\sum_{i=1}^k S_i}{\sum_{i=1}^m S_i} $$

其中 $m$ 是奇异值向量的长度，$k \leq m$。然后，我们可以选择最小的 $r$，使得 $p_r \geq 0.9$。

当然，截断因子 $r$ 的选择也需要考虑到计算效率和重构误差之间的平衡。如果 $r$ 取得太小，可能会导致重构误差较大；如果 $r$ 取得太大，可能会导致计算量过大。因此，需要根据具体情况进行选择。