Ar = U[:, :r] @ np.diag(S[:r]) @ V[:r, :]是什么意思

这行代码是将奇异值分解得到的矩阵 $A$ 重构为截断奇异值分解的矩阵 $A_r$。

具体来说，$U$ 是 $A$ 的左奇异矩阵，$S$ 是 $A$ 的奇异值向量，$V$ 是 $A$ 的右奇异矩阵。根据奇异值分解的定义，我们可以将 $A$ 表示为以下形式：

$$ A = U \Sigma V^T $$

其中，$\Sigma$ 是奇异值矩阵，对角线上的元素是 $S$ 中的奇异值。

在截断奇异值分解中，我们只保留前 $r$ 个奇异值，将其余的奇异值置为零。这样，我们可以得到一个近似的矩阵 $A_r$：

$$ A_r = U_r \Sigma_r V_r^T $$

其中，$U_r$ 是 $U$ 的前 $r$ 列，$\Sigma_r$ 是对角线上只有前 $r$ 个元素的奇异值矩阵，$V_r$ 是 $V$ 的前 $r$ 行。

为了计算矩阵 $A_r$，我们可以使用numpy库的dot函数或者@运算符（Python 3.5以上版本支持），将 $U_r$、$\Sigma_r$ 和 $V_r^T$ 相乘：

Ar = U[:, :r] @ np.diag(S[:r]) @ V[:r, :]

其中，np.diag(S[:r]) 将奇异值向量 $S$ 的前 $r$ 个元素转换为对角矩阵 $\Sigma_r$。@运算符表示矩阵乘法。