Ar = U[:, :r] @ np.diag(S[:r]) @ V[:r, :]是什么意思

这行代码是将奇异值分解得到的矩阵 $A$ 重构为截断奇异值分解的矩阵 $A_r$。

具体来说，$U$ 是 $A$ 的左奇异矩阵，$S$ 是 $A$ 的奇异值向量，$V$ 是 $A$ 的右奇异矩阵。根据奇异值分解的定义，我们可以将 $A$ 表示为以下形式：

$$ A = U \Sigma V^T $$

其中，$\Sigma$ 是奇异值矩阵，对角线上的元素是 $S$ 中的奇异值。

在截断奇异值分解中，我们只保留前 $r$ 个奇异值，将其余的奇异值置为零。这样，我们可以得到一个近似的矩阵 $A_r$：

$$ A_r = U_r \Sigma_r V_r^T $$

其中，$U_r$ 是 $U$ 的前 $r$ 列，$\Sigma_r$ 是对角线上只有前 $r$ 个元素的奇异值矩阵，$V_r$ 是 $V$ 的前 $r$ 行。

为了计算矩阵 $A_r$，我们可以使用numpy库的dot函数或者@运算符（Python 3.5以上版本支持），将 $U_r$、$\Sigma_r$ 和 $V_r^T$ 相乘：

Ar = U[:, :r] @ np.diag(S[:r]) @ V[:r, :]

其中，np.diag(S[:r]) 将奇异值向量 $S$ 的前 $r$ 个元素转换为对角矩阵 $\Sigma_r$。@运算符表示矩阵乘法。

相关问题

Ar = U[:, :r] @ np.diag(S[:r]) @ V[:r, :]中的r怎么确定

在截断奇异值分解中，我们需要决定保留多少个奇异值。这个数字通常称为截断因子，用 $r$ 表示。

通常情况下，我们可以通过观察奇异值向量 $S$ 的衰减情况来选择截断因子 $r$。我们可以将 $S$ 绘制成折线图，观察随着奇异值的增大，其相对大小的变化情况。一般来说，当奇异值变得很小，且其相对大小的变化也不大时，就可以选择截断因子 $r$。

通常情况下，可以将截断因子 $r$ 取为使得保留的奇异值所占比例达到某个设定阈值。例如，我们可以将阈值设为 $0.9$，然后选取最小的 $r$，使得前 $r$ 个奇异值的累计比例大于 $0.9$。具体来说，我们可以计算奇异值向量 $S$ 的累计比例：

$$ p_k = \frac{\sum_{i=1}^k S_i}{\sum_{i=1}^m S_i} $$

其中 $m$ 是奇异值向量的长度，$k \leq m$。然后，我们可以选择最小的 $r$，使得 $p_r \geq 0.9$。

当然，截断因子 $r$ 的选择也需要考虑到计算效率和重构误差之间的平衡。如果 $r$ 取得太小，可能会导致重构误差较大；如果 $r$ 取得太大，可能会导致计算量过大。因此，需要根据具体情况进行选择。

A = cv2.imread('1.png') # 对矩阵进行奇异值分解 U, S, V = np.linalg.svd(A, full_matrices=False) # 重构矩阵 r = 100 Ar = U[:, :r] @ np.diag(S[:r]) @ V[:r, :]为什么出错

这段代码存在一些潜在的问题。

首先，你需要确保你已经正确导入了cv2和numpy库。其次，你需要检查你的图片是否位于当前目录下，并使用正确的文件名和扩展名。对于这段代码来说，图片应该是1.png，且应该与你的Python脚本或notebook文件在同一目录下。

其次，你需要检查你的代码中使用的变量是否已经正确定义。在这段代码中，变量A、U、S和V都需要在代码之前定义，并且需要确保它们的形状正确，以便进行矩阵运算。

最后，你需要确保你的代码中所有的库函数都被正确调用并且没有拼写错误。在这段代码中，重构矩阵的计算似乎不太对。你可以尝试使用以下代码来计算重构矩阵：

Ar = np.dot(U[:, :r], np.dot(np.diag(S[:r]), V[:r, :]))

这将使用numpy的dot函数来计算矩阵乘积。如果你遇到了任何其他的错误或问题，请在这里继续提问，我会尽力帮助你解决。