5^16 mod 47?
时间: 2023-11-24 10:07:42 浏览: 28
我们可以使用快速幂算法来解决这个问题。首先,我们对指数 16 进行二进制分解,得到 $16 = 2^4$。然后,我们可以利用以下公式来计算 $5^{16}$:
$$5^{16} = (5^2)^8 = 25^8$$
接下来,我们可以继续利用快速幂算法,将指数 8 进行二进制分解:
$$8 = 2^3$$
进一步计算:
$$25^8 = (25^2)^4 = 625^4$$
再次利用快速幂算法,将指数 4 进行二进制分解:
$$4 = 2^2$$
因此:
$$625^4 = (625^2)^2 = 1369^2$$
最后,我们可以再次利用快速幂算法,将指数 2 进行二进制分解:
$$2 = 2^1$$
因此:
$$1369^2 = (1369^1)^2 \equiv 42^2 \equiv 1764 \equiv 5 \pmod{47}$$
因此,$5^{16} \equiv 5 \pmod{47}$。
相关问题
5^18 mod 47?
可以使用快速幂算法来计算。首先将指数18转换为二进制形式,即18=10010。然后,从右到左依次考虑每一位上的数字,如果是1,则将底数5乘以当前的幂次后取模,如果是0,则将底数5的当前幂次取模。具体步骤如下:
1. 5^1 mod 47 = 5
2. 5^2 mod 47 = 25
3. 5^4 mod 47 = (5^2)^2 mod 47 = 25^2 mod 47 = 36
4. 5^8 mod 47 = (5^4)^2 mod 47 = 36^2 mod 47 = 29
5. 5^16 mod 47 = (5^8)^2 mod 47 = 29^2 mod 47 = 20
6. 5^18 mod 47 = 5^(16+2) mod 47 = (5^16)*(5^2) mod 47 = 20*25 mod 47 = 30
因此,5^18 mod 47 = 30。
5^23 mod 47?
我们可以使用快速幂算法来计算这个式子。首先,将 23 表示为二进制形式:23 = 10111。接下来,我们从右往左扫描二进制数,如果当前位是 1,就把对应的幂乘到结果中。例如,在第 0 位,我们需要计算 5^1 mod 47,结果为 5;在第 1 位,我们需要计算 5^2 mod 47,结果为 25;在第 2 位,我们需要计算 5^4 mod 47,结果为 25^2 mod 47 = 31;在第 3 位,我们需要计算 5^8 mod 47,结果为 31^2 mod 47 = 37;在第 4 位,我们需要计算 5^16 mod 47,结果为 37^2 mod 47 = 22。因此,5^23 mod 47 = 5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^8 * 5^16 mod 47 = 5 * 25 * 31 * 37 * 22 mod 47 = 9。因此,5^23 mod 47 的结果为 9。
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