编写一个复杂具体的TOPSIS模型

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种多属性决策分析方法，用于在多个评价指标下对若干个方案进行排序。下面我来编写一个复杂具体的TOPSIS模型。

假设我们要选择一家新的供应商，我们需要从以下四个方面进行评价：价格、质量、交货周期和服务水平。我们有三个候选供应商：供应商A、供应商B和供应商C。我们需要使用TOPSIS模型对这三个供应商进行评价和排序。

步骤1：建立评价矩阵

评价矩阵如下所示：

| 评价指标 | 供应商A | 供应商B | 供应商C |
| -------- | ------- | ------- | ------- |
| 价格 | 200 | 180 | 220 |
| 质量 | 90 | 95 | 85 |
| 交货周期 | 10 | 15 | 12 |
| 服务水平 | 80 | 85 | 90 |

其中，价格越低越好，其余指标越高越好。

步骤2：确定权重向量

根据实际情况，我们可以将四个指标的权重分别设置为0.4、0.3、0.2和0.1，代表其在决策中的相对重要程度。因此，权重向量为：

w = [0.4, 0.3, 0.2, 0.1]

步骤3：归一化评价矩阵

为了消除指标之间的量纲差异，我们需要对评价矩阵进行归一化处理。归一化后的评价矩阵如下所示：

| 评价指标 | 供应商A | 供应商B | 供应商C |
| -------- | ------- | ------- | ------- |
| 价格 | 0.33 | 0.00 | 1.00 |
| 质量 | 0.60 | 1.00 | 0.00 |
| 交货周期 | 0.00 | 0.67 | 0.33 |
| 服务水平 | 0.25 | 0.75 | 1.00 |

其中，归一化方法为：

$$
x_{ij}^{'} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_{ij}^2}}
$$

步骤4：确定正理想解和负理想解

根据TOPSIS方法，我们需要确定正理想解和负理想解。正理想解应该是各指标中最优的取值，负理想解应该是各指标中最劣的取值。因此，我们可以根据归一化后的评价矩阵得到正理想解和负理想解：

正理想解：[1, 1, 0, 1]

负理想解：[0, 0, 1, 0]

其中，正理想解的每个指标都是最大值，负理想解的每个指标都是最小值。

步骤5：计算距离

我们需要计算每个供应商与正理想解和负理想解的距离。距离计算方法为欧几里得距离：

$$
D_i^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}(x_{ij}^{'} - y_{j}^{+})^2}
$$

$$
D_i^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}(x_{ij}^{'} - y_{j}^{-})^2}
$$

其中，$D_i^{+}$表示第i个供应商与正理想解的距离，$D_i^{-}$表示第i个供应商与负理想解的距离，$x_{ij}^{'}$表示第i个供应商在第j个指标上的归一化得分，$y_{j}^{+}$表示正理想解在第j个指标上的归一化得分，$y_{j}^{-}$表示负理想解在第j个指标上的归一化得分。

计算结果如下所示：

| 供应商 | $D_i^{+}$ | $D_i^{-}$ |
| ------ | --------- | --------- |
| A | 1.093 | 1.506 |
| B | 0.687 | 1.129 |
| C | 1.215 | 0.707 |

步骤6：计算综合得分

根据TOPSIS方法，我们需要计算每个供应商的综合得分：

$$
C_i = \frac{D_i^{-}}{D_i^{+} + D_i^{-}}
$$

其中，$C_i$表示第i个供应商的综合得分。

计算结果如下所示：

| 供应商 | $C_i$ |
| ------ | ----- |
| A | 0.579 |
| B | 0.622 |
| C | 0.368 |

步骤7：排序

最后，我们按照综合得分对供应商进行排序，得到最终的评价结果：

| 供应商 | 综合得分 | 排名 |
| ------ | -------- | ---- |
| B | 0.622 | 1 |
| A | 0.579 | 2 |
| C | 0.368 | 3 |

综合得分最高的供应商B被排在第一位，最差的供应商C被排在第三位。因此，我们可以选择供应商B作为新的供应商。