一维热扩散方程有限差分

一维热扩散方程的数值解可以通过有限差分方法来求解。该方程可以表示为:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$表示温度场的分布，$\alpha$为热扩散系数。

我们可以使用向后差分法来离散化时间，使用中心差分法来离散化空间。具体来说，我们将时间和空间分别离散化为$t_n=n\Delta t$和$x_i=i\Delta x$，其中$\Delta t$和$\Delta x$分别表示时间步长和空间步长，$n$和$i$为离散化后的时间和空间步数。于是，热扩散方程的离散化形式为：

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} = \alpha \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}$$

该式可以通过变形得到：

$$u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$$

这样，我们就可以使用该式来逐步求解热扩散方程的数值解。需要注意的是，为了保证数值稳定性，我们需要满足一个条件：$\frac{\alpha \Delta t}{(\Delta x)^2}\leq \frac{1}{2}$。