逻辑回归模型原理公式推导

逻辑回归是一种二分类模型，它的目的是预测一个样本属于某一类的概率。逻辑回归模型的原理公式推导如下：

假设我们有一个训练集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{id})^T$是第$i$个样本的$d$维特征向量，$y_i\in\{0,1\}$是第$i$个样本的标记。我们的目标是学习一个分类器$f(x)$，使其能够将任意一个样本$x$正确地分类为0或1。

假设我们使用sigmoid函数$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$作为分类器的激活函数，其中$z=w^Tx$，$w=(w_1,w_2,...,w_d)^T$是模型的参数向量。我们可以将$g(z)$理解为样本$x$属于类1的概率。为了训练模型，我们需要定义一个损失函数$L(w)$，它能够反映模型预测结果与实际标记之间的差距。

一种常见的损失函数是交叉熵损失函数，它的定义如下：

$$L(w)=-\sum_{i=1}^n[y_ilog(g(z_i))+(1-y_i)log(1-g(z_i))]$$

其中$z_i=w^Tx_i$，$g(z_i)$表示样本$x_i$属于类1的概率，$y_i$是样本$x_i$的实际标记。交叉熵损失函数的含义是模型预测结果与实际标记之间的距离，距离越小，损失函数的值越小，模型的性能越好。

为了最小化损失函数，我们需要使用梯度下降算法求解模型参数$w$。具体来说，我们需要不断地对损失函数求导，并更新参数$w$，使得损失函数不断减小，最终收敛到最优解。

损失函数对参数$w$的导数为：

$$\frac{\partial L(w)}{\partial w_j}=\sum_{i=1}^n(g(z_i)-y_i)x_{ij}$$

根据梯度下降算法的更新公式，我们可以得到：

$$w_j=w_j-\alpha\frac{\partial L(w)}{\partial w_j}$$

其中$\alpha$是学习率，控制着参数更新的步长。

利用这个公式，我们可以不断地迭代更新参数$w$，直到损失函数收敛到最小值。最终得到的模型就可以用来预测新样本的分类结果。