逻辑回归梯度下降推导

逻辑回归是一种二分类模型，它的目标是学习一个函数，将输入的特征映射到0或1的输出。梯度下降是一种常用的优化算法，可以用于求解逻辑回归模型的参数。

假设我们有m个样本，每个样本有n个特征，用$x^{(i)}$表示第i个样本的特征向量，$y^{(i)}$表示第i个样本的标签（0或1），$w$表示模型的参数向量，$b$表示模型的偏置项，则逻辑回归模型可以表示为：

$$h_{w,b}(x)=\frac{1}{1+e^{-(wx+b)}}$$

其中$h_{w,b}(x)$表示预测值，$e$表示自然常数。我们的目标是最小化损失函数：

$$J(w,b)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log h_{w,b}(x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1-h_{w,b}(x^{(i)}))]$$

这个损失函数可以用来衡量模型预测值与真实值之间的差距。我们可以使用梯度下降算法来最小化这个损失函数。梯度下降算法的基本思想是沿着损失函数的负梯度方向更新参数，直到达到最小值。

具体来说，我们可以使用以下公式来更新参数：
$$w:=w-\alpha\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$$

$$b:=b-\alpha\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$$

其中$\alpha$表示学习率，$\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$和$\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$分别表示损失函数对参数$w$和$b$的偏导数。这些偏导数可以通过求解损失函数的梯度来计算。

对于逻辑回归模型，我们可以使用以下公式来计算梯度：

$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial w}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})x^{(i)}$$

$$\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{w,b}(x^{(i)})-y^{(i)})$$

这些公式可以通过对损失函数进行求导得到。我们可以使用这些公式来计算梯度，并使用梯度下降算法来更新参数，直到达到最小值。