大型有限元方程的非零元素对称下三角一维存储和迭代求解法的C语言代码

以下是一个简单的例子，使用对称下三角一维存储和Jacobi迭代方法求解大型有限元方程的C语言代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define N 1000 // 方程的维数
#define MAX_ITER 1000 // 最大迭代次数
#define TOL 1e-6 // 收敛精度

int main()
{
    double *a, *b, *x, *r, *d;
    int *ia, *ja;
    int i, j, k, iter;
    double sum, norm, rho, alpha;

    // 分配内存
    a = (double*)malloc(N*(N+1)/2*sizeof(double));
    b = (double*)malloc(N*sizeof(double));
    x = (double*)malloc(N*sizeof(double));
    r = (double*)malloc(N*sizeof(double));
    d = (double*)malloc(N*sizeof(double));
    ia = (int*)malloc((N+1)*sizeof(int));
    ja = (int*)malloc(N*(N+1)/2*sizeof(int));

    // 初始化
    for(i=0; i<N*(N+1)/2; i++)
        a[i] = 0;
    for(i=0; i<N; i++)
    {
        b[i] = 1;
        x[i] = 0;
        r[i] = b[i];
        d[i] = r[i];
    }

    // 构建矩阵
    k = 0;
    for(i=0; i<N; i++)
    {
        ia[i] = k;
        for(j=0; j<=i; j++)
        {
            ja[k] = j;
            a[k] = 1.0/(i+j+1);
            k++;
        }
    }
    ia[N] = k;

    // Jacobi迭代
    norm = 0;
    for(i=0; i<N; i++)
        norm += r[i]*r[i];
    iter = 0;
    while(norm > TOL*TOL && iter < MAX_ITER)
    {
        // 计算Ad
        for(i=0; i<N; i++)
        {
            sum = 0;
            for(k=ia[i]; k<ia[i+1]; k++)
                sum += a[k]*d[ja[k]];
            r[i] = b[i] - sum;
        }

        // 计算alpha
        rho = 0;
        for(i=0; i<N; i++)
            rho += r[i]*r[i];
        alpha = 0;
        for(i=0; i<N; i++)
            alpha += d[i]*r[i];
        alpha /= rho;

        // 更新x和r
        norm = 0;
        for(i=0; i<N; i++)
        {
            x[i] += alpha*d[i];
            r[i] -= alpha*a[ia[i]]*d[i];
            norm += r[i]*r[i];
        }

        // 计算beta
        rho = 0;
        for(i=0; i<N; i++)
            rho += r[i]*r[i];
        norm /= rho;
        for(i=0; i<N; i++)
            d[i] = r[i] + norm*d[i];

        iter++;
    }

    // 打印结果
    printf("Number of iterations: %d\n", iter);
    for(i=0; i<N; i++)
        printf("x[%d] = %e\n", i, x[i]);

    // 释放内存
    free(a);
    free(b);
    free(x);
    free(r);
    free(d);
    free(ia);
    free(ja);

    return 0;
}

在这个例子中，我们使用了对称下三角一维存储方式，即将矩阵的下三角部分按行压缩成一维数组。对于一个维数为N的矩阵，其下三角元素的个数为N*(N+1)/2。我们将这些元素存储在一个一维数组a中，按照行优先的顺序排列。对于a中第i个元素，它对应着矩阵的第ia[i]行和第ja[i]列的元素。

在Jacobi迭代中，我们使用了以下公式：

x^(k+1) = x^k + alpha^k * d^k
d^(k+1) = r^(k+1) + beta^k * d^k

其中，x^(k)表示第k次迭代的解向量，r^(k)表示第k次迭代的残差向量，d^(k)表示第k次迭代的搜索方向向量，alpha^k表示第k次迭代的步长，beta^k表示第k次迭代的搜索方向向量的缩放系数。

在代码中，我们首先计算Ad，然后计算alpha，更新x和r，最后计算beta和更新d。迭代终止的条件是残差的平方和小于收敛精度的平方或者达到最大迭代次数。