设计一个o(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列

### 回答1：
可以使用动态规划来解决这个问题。

定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长单调递增子序列的长度。

初始化dp数组为1，因为每个元素本身都可以作为一个长度为1的单调递增子序列。

然后从第二个元素开始遍历整个序列，对于每个元素i，再从第一个元素到第i-1个元素中找到比它小的元素j，如果存在这样的元素j，则更新dp[i]为dp[j]+1，表示以j为结尾的最长单调递增子序列再加上i这个元素可以构成以i为结尾的更长的单调递增子序列。

最后，遍历整个dp数组，找到其中最大的值，即为整个序列的最长单调递增子序列的长度。

时间复杂度为O(n^2)。

### 回答2：
最长单调递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）是一道经典的动态规划问题，可以使用O(n2)或O(nlogn)的方法求解。

以下是一个O(n2)的DP算法：

设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长单调递增子序列的长度，初始化dp[i]=1（因为以第i个元素结尾的最短递增序列长度为1）。

对于每个j<i，如果nums[j]<nums[i]，说明第j个元素可以接在第i个元素后面构成递增序列，此时更新dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。

最后遍历dp数组，找到最大值即可。

具体实现如下：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n=nums.size(),res=1;
vector<int> dp(n,1);
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
if(nums[j]<nums[i])
dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
}
res=max(res,dp[i]);
}
return res;
}

该算法时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(n)。

### 回答3：
一、问题分析

题目要求我们设计一个o(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

首先我们需要明确，什么是子序列？什么是最长单调递增子序列？

1. 子序列：在给定序列中，选择任意数量的数字进行排列组合，而这些数字按照原始序列中的顺序，组成的新序列称为原序列的子序列。

2. 最长单调递增子序列：在原序列中找到一组连续的元素，使得它们按原序列的顺序从小到大排列，并且满足长度最长。

我们需要设计的算法，即为找出给定序列的最长单调递增子序列。

二、算法设计

1. 定义状态

我们定义状态数组dp[i]为以第i个元素作为结尾的最长递增子序列长度。

2. 初始化

对状态数组进行初始化，将dp[i]置为1，因为我们可以将每个元素看做是一个长度为1的递增子序列。

3. 状态转移方程

对于下标i和j，若i<j且a[i]<a[j]，则dp[j] = max(dp[j], dp[i]+1)。

这个方程的含义是，如果第i个元素比第j个元素小，并且以第i个元素为结尾的最长递增子序列加上第j个元素的话，能够得到以第j个元素结尾的递增子序列的长度，则将dp[j]更新为dp[i]+1。

在这个过程中，我们会从前往后逐个计算状态，并且在每次计算dp[j]时，都需要通过遍历0~j-1来计算其值，所以时间复杂度为o(n2)。

4. 计算最长单调递增子序列长度

对状态数组进行遍历，找出其中的最大值即为给定序列的最长单调递增子序列长度。同时，我们也可以通过倒推出具体的递增子序列内容。

三、算法实现

下面是算法的具体实现：

def longestIncreasingSubsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for j in range(n):
        for i in range(j):
            if nums[i] < nums[j]:
                dp[j] = max(dp[j], dp[i] + 1)

    return max(dp), getSubsequence(nums, dp)

def getSubsequence(nums, dp):
    n = len(nums)
    length = max(dp)
    index = dp.index(length)
    subsequence = [nums[index]]

    while length > 1:
        for i in range(index-1, -1, -1):
            if nums[i] < nums[index] and dp[i] == length-1:
                subsequence.append(nums[i])
                index = i
                length -= 1
                break

    return subsequence[::-1]

四、总结

最长单调递增子序列问题可以通过动态规划的方式来解决，时间复杂度为o(n2)。在实际应用中，我们可以使用这个算法来解决一些子问题，比如求解二维点集中的最大递增子集合。