迪杰斯特拉求最短路径过程中各步的状态

感谢您的提问。迪杰斯特拉算法求最短路径的过程中，可以记录每一个节点的状态。具体来说，可以用一个数组来保存每个节点的最短距离和它的前一个节点的编号，初始时所有节点的最短距离为正无穷大，前一个节点为-1。每次更新一个节点的最短距离时，同时更新它的前一个节点的编号。这样，在找到最短路径后，就可以根据每个节点的前一个节点逐步构造出完整的路径。希望这个回答能够帮到您！

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迪杰斯特拉单元最短路径

### 迪杰斯特拉算法简介

迪杰斯特拉算法是一种用于解决带权重图中单源最短路径问题的经典贪心算法[^1]。该算法适用于所有边的权值均为正值的情况，能够有效地计算从指定起点出发到达其他节点的最短距离。

#### 算法核心原理

通过逐步构建已知最优解集合S来实现全局优化目标。初始状态下仅包含起始结点s，在每次迭代过程中从未处理过的候选集中选取具有最小估计代价d[u]的顶点u加入到S当中，并更新其相邻未访问过节点v的距离估值d[v]=min{d[v], d[u]+w(u,v)}直至遍历完成整个网络结构为止[^4]。

#### 数据表示形式

对于稀疏图而言采用邻接表方式存储效率更高一些，因为这样能减少空间占用并加快查询速度；而对于稠密型则更适合用矩阵表达方法来进行操作。

// C++ code snippet demonstrating adjacency list representation.
vector<pair<int,int>> adj[V]; // Adjacency List Representation

#### 实现细节说明

为了提高性能表现通常会引入优先队列（如斐波那契堆）作为辅助工具帮助快速定位当前最近可扩展位置从而降低时间复杂度至O((E+V)log V)[^2]。

import heapq as hq

def dijkstra(graph, start_vertex):
    D = {v:float('inf') for v in range(len(graph))}
    D[start_vertex] = 0
    
    pq = [(0,start_vertex)]
    
    while len(pq)>0:
        (dist,current_vertex)=hq.heappop(pq)

        if dist>D[current_vertex]:
            continue
        
        for neighbor,cost in graph[current_vertex].items():
            old_cost=D[neighbor]
            new_cost=cost+D[current_vertex]

            if new_cost<old_cost:
                hq.heappush(pq,(new_cost,neighbor))
                D[neighbor]=new_cost
                
    return D

此段Python代码实现了基于二叉堆版本的迪杰斯特拉寻径过程，其中`graph`参数是以字典嵌套的形式给出的一张有权重无向连通图描述，键名为整数编号代表不同站点而对应的value则是另一个映射关系记录着通往其它地方所需耗费的时间或里程等信息[^5]。

迪杰斯特拉算法求最短路径的步骤思想

### Dijkstra算法原理

Dijkstra算法是一种用于计算加权图中单源最短路径的经典贪心算法。该算法能够有效地找到从起始节点到其他所有节点之间的最短距离，并且可以通过一些改进来记录具体的路径。

#### 节点初始化
对于给定的起点`S`，创建两个集合：已访问过的节点集`Q`以及未访问的节点集`U`。初始状态下只有起点位于`Q`内；设置一个数组`dist[]`用来保存从起点到达各节点的距离估计值，在开始时除了起点自身的距离设为0外其余都设定成无穷大∞[^1]。

#### 迭代过程
每次从未处理完毕(`U`)的结点里挑选出具有最小临时标记（即当前所知离原点最近的那个）记作u并将其加入已处理完成(`Q`)的一侧。接着遍历与之相邻的所有顶点v, 对于每一条边(u,v)，如果通过这条边能使得新的总花费更少，则更新对应位置上存储的最佳成本(dist[v])及其前驱(predecessor)[^3]。

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    n = len(graph)
    dist = [float('inf')] * n  # 初始化距离表
    prev = [-1] * n           # 记录前置节点以便构建路径
    
    pq = [(0, start)]         # 小根堆 (优先队列), 存储 (cost_to_node, node_id)

    while pq:
        d, u = heapq.heappop(pq)

        if d != dist[u]:
            continue
        
        for v, weight in graph[u].items():
            alt = dist[u] + weight
            
            if alt < dist[v]:
                dist[v] = alt
                prev[v] = u
                
                heapq.heappush(pq, (alt, v))
    
    return dist, prev

此代码实现了上述逻辑中的核心部分，其中`graph`是以邻接列表形式表示的带权重无向/有向图，而函数返回的结果不仅包含了最终确定下来的最短路程长度，还保留了重建实际行走路线所需的信息——即每个目标地点之前的一步来自哪里。

为了获取完整的路径序列，可以根据`prev[]`数组反向追踪直到回到起点：

def reconstruct_path(prev, target):
    path = []
    current = target
    
    while current != -1:
        path.append(current)
        current = prev[current]

    return list(reversed(path))  

这样就可以得到由一系列连续相连的节点组成的最优解轨迹了。