矩阵连乘问题怎么确定顺序
时间: 2024-06-04 07:07:33 浏览: 27
矩阵连乘问题的目标是找到一种最优的矩阵相乘顺序,使得计算矩阵乘积所需的数乘次数最小。
确定矩阵相乘的顺序,可以通过动态规划算法来实现。具体步骤如下:
1. 定义状态:设 $m_{i,j}$ 表示从第 $i$ 个矩阵开始到第 $j$ 个矩阵结束的最少计算次数。
2. 状态转移方程:对于 $m_{i,j}$,可以枚举其分割点 $k$,然后将计算矩阵 $i$ 到 $k$ 与 $k+1$ 到 $j$ 的最少计算次数加起来。即:
$$m_{i,j} = \min_{i\leq k<j} (m_{i,k}+m_{k+1,j}+p_{i-1}p_kp_j)$$
其中 $p_{i-1}$ 表示第 $i$ 个矩阵的行数,$p_k$ 表示第 $k$ 个矩阵的列数,$p_j$ 表示第 $j$ 个矩阵的列数。
3. 边界条件:当 $i=j$ 时,$m_{i,j}=0$,因为只有一个矩阵不需要计算次数。
4. 求解最优解:最终的最少计算次数为 $m_{1,n}$,其中 $n$ 表示矩阵的个数。
根据动态规划算法求解出的 $m_{i,j}$,可以通过回溯的方式得到矩阵相乘的顺序。具体步骤如下:
1. 从 $m_{1,n}$ 开始,找到一个分割点 $k$,使得 $m_{1,n}=m_{1,k}+m_{k+1,n}+p_{0}p_kp_n$。
2. 将矩阵序列分成两部分,即从 $1$ 到 $k$ 和 $k+1$ 到 $n$。
3. 对两个子序列递归进行相同的操作,直到序列中只剩下一个矩阵为止。
4. 最终得到的矩阵相乘顺序即为递归得到的序列的连接顺序。
这样就可以确定矩阵相乘的顺序了。
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