用impz和dstep求解离散时间系统的系统函数为H（Z）=1-0.5z^(-1)/1-z^(-1)＋z^(-2)的单位脉冲响应和阶跃响应

离散时间系统的系统函数 H(Z) = 1 - 0.5 * Z^(-1) / (1 - Z^(-1) + Z^(-2)) 可以看作是一个二阶线性移不变系统的传递函数。为了计算其单位脉冲响应 (Impulse Response, IR) 和阶跃响应 (Step Response, SR)，我们需要利用 impulse() 和 step() 函数，这两个函数通常在信号处理库如MATLAB或Python的Control System Toolbox中提供。

首先，让我们假设你在MATLAB环境中：

% 导入工具箱
if ~exist('impz','builtin')
    error('impz function not found, please make sure Control System Toolbox is installed');
end

% 定义系统函数
num = [1 -0.5];
den = [1 1 1];

% 计算单位脉冲响应
h = impz(num, den);

% 计算阶跃响应
t = 0:0.1:10; % 时间序列
u = ones(size(t)); % 阶跃输入
y = lsim(num, den, t, u); % 使用lsim函数计算响应
h_step = y(2:end); % 去掉初始状态的影响

% 系统函数对应的零点、极点和增益
zeros_H = roots(den);
poles_H = roots(num);
gain_H = abs(max(abs(H)));

% 结果
disp("单位脉冲响应: ");
disp(h);
disp("阶跃响应: ");
plot(t, h_step);

如果你在Python环境中，可以使用control库：

import control as ctrl

# 定义系统函数
sys = ctrl.TransferFunction([1, -0.5], [1, 1, 1])

# 计算单位脉冲响应
h = sys.impulse_response()
print(f"单位脉冲响应: {h}")

# 计算阶跃响应
time = np.arange(0, 10, 0.1)
input_ = np.ones_like(time)
response, _ = ctrl.step_response(sys, time, input_)
h_step = response[1:]

# 结果
print(f"阶跃响应: {h_step}")