一元多项式乘法时间复杂度

一元多项式乘法的时间复杂度可以使用 Karatsuba 算法或快速傅里叶变换（FFT）算法来实现。Karatsuba 算法的时间复杂度为 $O(n^{\log_23})$，其中 $n$ 是多项式的次数。而 FFT 算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$。在实际应用中，FFT 算法更为常用，因为它的时间复杂度更低。

相关问题

计算c语言实现一元多项式乘法算法的时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度：
假设两个一元多项式的次数分别为m和n，则使用传统乘法的时间复杂度为O(mn)，使用快速傅里叶变换（FFT）的时间复杂度为O(nlogn)或O(mlogm)。由于n和m都是多项式的次数，因此可以将时间复杂度简写为O(nlogn)或O(mlogm)。

空间复杂度：
使用传统乘法的空间复杂度为O(m+n)，需要开辟两个数组来存储两个多项式的系数。使用FFT算法的空间复杂度为O(n)或O(m)，因为只需要开辟一个数组来存储多项式系数，并且该数组的长度为n或m。因此，空间复杂度为O(n)或O(m)。

两个一元多项式乘法代码

下面是Python实现的两个一元多项式乘法代码示例：

1. 使用列表存储一元多项式

def poly_mult(poly1, poly2):
    """
    一元多项式乘法，使用列表存储多项式系数
    
    :param poly1: 多项式1，如 [3, 2, 1] 表示 3x^2 + 2x + 1
    :param poly2: 多项式2，如 [4, 2] 表示 4x + 2
    :return: 乘积多项式，如 [12, 14, 4, 1] 表示 12x^3 + 14x^2 + 4x + 1
    """
    m, n = len(poly1), len(poly2)
    res = [0] * (m + n - 1)
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            res[i+j] += poly1[i] * poly2[j]
    return res

2. 使用字典存储一元多项式

def poly_mult(poly1, poly2):
    """
    一元多项式乘法，使用字典存储多项式系数
    
    :param poly1: 多项式1，如 {2: 3, 1: 2, 0: 1} 表示 3x^2 + 2x + 1
    :param poly2: 多项式2，如 {1: 4, 0: 2} 表示 4x + 2
    :return: 乘积多项式，如 {3: 12, 2: 14, 1: 4, 0: 1} 表示 12x^3 + 14x^2 + 4x + 1
    """
    res = {}
    for i, a in poly1.items():
        for j, b in poly2.items():
            res[i+j] = res.get(i+j, 0) + a * b
    return res

这两个函数的输入参数都是两个多项式，其中`poly1`和`poly2`可以用列表或字典表示。输出结果也是一个多项式，同样用列表或字典表示。其中，`poly_mult`函数使用的是暴力算法，时间复杂度为$O(mn)$，其中$m$和$n$分别为两个多项式的项数。如果使用更高效的Karatsuba算法可以将时间复杂度降为$O(n^{\log_2 3})$。