softmax公式推导

Softmax是一种非线性函数，通常用于多类别分类问题中，它可以将输入转化为概率分布。Softmax公式的推导可以分为以下几步：

1. 假设有K个类别，每个类别的得分分别为 $s_1, s_2,..., s_K$，其中 $s_i$ 表示第i个类别的得分。对于给定的K个得分，我们想要将它们转化为刻画类别的概率分布。

2. 首先我们需要对得分进行指数化，即对得分向量所在的整个空间进行了一个平移，这样使得最大的得分等于0，因此指数化后的得分向量为 $e^{s_1}, e^{s_2}, ..., e^{s_K}$。

3. 我们需要将指数化后的得分向量进行归一化，即保证每个类别的概率值在 [0,1] 之间，并且所有概率值的和为1。

4. 我们可以使用softmax函数实现归一化操作。我们定义第i个类别的概率为 $p_i$， 则有：

$$ p_i = \frac{e^{s_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{s_k}} $$

其中分母 $\sum_{k=1}^{K} e^{s_k}$ 是对指数化后得分向量的所有元素进行求和。

5. 将所有类别的概率值加起来应该等于1，即

$$ \sum_{i=1}^{K} p_i = 1 $$

以上就是Softmax公式的推导过程。Softmax是一种非常常用的多分类激活函数，它可以有效地将输入转化为概率分布，从而方便进行分类问题的求解。

相关问题

softmax梯度推导

softmax函数是一种常用的归一化函数，常用于分类问题。在神经网络中，softmax函数通常作为输出层的激活函数使用，用于将神经网络输出转换为概率分布。softmax函数的公式如下：

$$
softmax(x_i) = \frac{e^{x_i}}{\sum_{j=1}^{k} e^{x_j}}
$$

其中，$x_i$表示输入向量的第$i$个元素，$k$表示向量的长度。接下来是softmax函数的梯度推导。

假设softmax函数的输入为$x$，输出为$y$，则其梯度可以按照以下步骤推导得出：

1. 首先，对softmax函数的输出$y$求导：

$$
\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}}
$$

2. 对上式中的分母求导：

$$
\frac{\partial}{\partial x_j} \sum_{k=1}^{K} e^{x_k} = e^{x_j}
$$

3. 分子求导：

$$
\frac{\partial}{\partial x_j} e^{x_i} =
\begin{cases}
e^{x_i}, & j=i \\
0, & j \neq i
\end{cases}
$$

4. 将2、3步骤中的结果代入到1式中得到：

$$
\frac{\partial y_i}{\partial x_j} = \begin{cases}
\frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}} (1 - \frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{K} e^{x_k}}), & j=i \\
-\frac{e^{x_i}}{(\sum_{k=1}^{K} e^{x_k})^2} e^{x_j}, & j \neq i
\end{cases}
$$

其中，当$j=i$时，$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$表示对$x_i$求导；当$j \neq i$时，$\frac{\partial y_i}{\partial x_j}$表示对$x_j$求导。

softmax回归梯度下降公式推导

softmax回归是一种广泛用于多分类问题的机器学习模型，它的梯度下降公式推导是理解其训练过程的关键。在softmax回归中，我们通常有多个输出节点，每个节点对应一个类别的概率。梯度下降的目标是最小化预测概率分布与实际标签之间的交叉熵损失。

假设我们有一个训练样本（x, y），其中x是输入特征向量，y是对应的类别标签。softmax函数为每个类别的概率分配值，公式为：

\[ P(y=j \mid x) = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^K e^{z_k}} \]

这里的\( z_j = w_j^T x + b_j \)，w是权重向量，b是偏置项，K是类别数。

交叉熵损失函数L可以表示为：

\[ L = -\sum_{j=1}^K y_j \log(P(y=j \mid x)) \]

为了最小化这个损失，我们使用梯度下降算法更新参数，计算损失关于权重w和偏置b的偏导数。对于权重w和偏置项b的梯度，我们有：

\[ \frac{\partial L}{\partial w_j} = x \left( P(y=j \mid x) - y_j \right) \]
\[ \frac{\partial L}{\partial b_j} = P(y=j \mid x) - y_j \]

然后，按照学习率η进行更新：

\[ w_j := w_j - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial w_j} \]
\[ b_j := b_j - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial b_j} \]

注意这里\( P(y=j \mid x) \)在计算梯度时会被用到，因此在实际应用中，我们通常不会直接用softmax函数，而是用softmax函数的指数形式来避免数值溢出。