两个矩阵合同 几何视角

当两个矩阵合同时，它们代表的线性变换在不同基向量下的表示是相似的。因此，从几何视角来看，这意味着这两个线性变换具有相同的几何性质，它们只是在不同的坐标系下表示。例如，它们可能具有相同的特征值和特征向量，从而导致相似的伸缩和旋转效果。在实际应用中，矩阵的合同关系在矩阵的对角化、矩阵的相似性和线性代数中都有广泛的应用。

相关问题

两个矩阵相似 几何视角

在几何学中，两个矩阵相似的概念可以理解为它们代表的线性变换有相同的基向量，只是坐标系不同。换句话说，如果两个矩阵A和B相似，那么它们所代表的变换可以通过一个线性变换（比如说一个旋转或缩放）转换为另一个矩阵。

具体来说，设A和B为n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得：

$$ A = PBP^{-1} $$

那么我们称A和B相似，P就是从B的坐标系到A的坐标系的变换矩阵。这个矩阵P可以看作是一个线性变换的基变换矩阵，它将B的基向量转换为A的基向量。

从几何视角来看，矩阵相似意味着两个矩阵所表示的线性变换在不同的基向量下具有相同的几何性质。例如，如果我们将一个矩阵表示的变换看作是对一个向量的旋转，那么两个相似的矩阵表示的旋转可以看作是在不同的坐标系下对同一个向量进行的旋转，它们具有相同的旋转角度和旋转轴。

两视图几何的基本矩阵和本质矩阵

### 基本矩阵与本质矩阵的概念

#### 基本矩阵
基本矩阵（Fundamental Matrix），记作 \( F \)，是在两视图几何中描述两个不同视角下的图像点之间关系的一个重要工具。对于任意一对匹配点 \( (p, p') \) 来说，满足如下方程：

\[ p'^T F p = 0 \]

这里 \( p \) 和 \( p' \) 是来自两张图片中的对应特征点，在各自图像平面内的齐次坐标形式表示[^2]。

#### 本质矩阵
本质矩阵（Essential Matrix），通常标记为 \( E \)，用于连接同一场景的不同摄像机位置所拍摄的照片之间的内在联系。当已知相机内部参数时，通过将像素坐标转换成标准化的相机坐标来定义这种关联性。具体表达式如下所示：

\[ E = K^{-T} F K^{-1} \]

其中 \( K \) 表示相机内参矩阵；\( K^{-T} \) 和 \( K^{-1} \) 则分别是其转置后的逆阵以及直接求逆的结果[^1]。

### 主要差异

- **适用范围**
- 基本矩阵适用于未经校准的情况，即不知道也不需要知道具体的相机参数就能建立起来的关系模型。
- 本质矩阵主要用于已经过校正或至少部分知晓内外部参数的情形之下，它能够更精确地反映实际物理空间里物体的位置变化情况。

- **计算方式**
- 对于基本矩阵而言，只要给定足够数量的配对点即可利用八点算法或其他方法来进行估计。
- 而本质矩阵除了依赖这些对应的二维投影之外，还需要额外的信息比如焦距等光学属性数据作为输入条件之一参与运算过程[^3]。

- **数学特性**
- 基本矩阵是一个秩为2的3x3奇异矩阵，并且具有7自由度(8个未知数减去尺度不变性的约束)。
- 本质矩阵同样也是3x3大小但它的特殊之处在于拥有5个独立变量加上整体旋转平移带来的三个维度共八个自由度，不过因为存在单位长度的要求所以最终只有五个有效自由度。

import numpy as np

def compute_fundamental_matrix(points1, points2):
    A = []
    for i in range(len(points1)):
        u1, v1 = points1[i][0], points1[i][1]
        u2, v2 = points2[i][0], points2[i][1]
        row = [u1*u2, u1*v2, u1, v1*u2, v1*v2, v1, u2, v2, 1]
        A.append(row)

    _, _, Vt = np.linalg.svd(A)
    F = Vt[-1].reshape((3, 3))
    
    U, S, Vt = np.linalg.svd(F)
    S[2] = 0
    F = np.dot(U, np.dot(np.diag(S), Vt))

    return F / F[2, 2]


def essential_from_fundamental(K, F):
    """Compute the Essential matrix from Fundamental and camera intrinsic parameters."""
    E = np.dot(K.T, np.dot(F, K))
    U, S, Vt = np.linalg.svd(E)
    S = [1, 1, 0]  # Ensure two singular values are equal to one.
    E = np.dot(U, np.dot(np.diag(S), Vt))
    return E