如何验算点（x=0，y=1）是否满足非线性规划问题 maximize:x ^ { 2 } +4xy+y ^ { 2 }的二阶优化条件

为了验证点（x=0，y=1）是否满足非线性规划问题 maximize:x ^ { 2 } +4xy+y ^ { 2 } 的二阶优化条件，我们需要计算该问题的 Hessian 矩阵，然后将点（x=0，y=1）代入该矩阵，并检查矩阵是否为负定矩阵。

首先，计算目标函数的 Hessian 矩阵：

H(x,y) = [∂^2 f(x,y) / ∂x^2 ∂^2 f(x,y) / ∂x∂y]
[∂^2 f(x,y) / ∂y∂x ∂^2 f(x,y) / ∂y^2]

其中，f(x,y) = x^2 + 4xy + y^2。计算 Hessian 矩阵的每个元素：

∂^2 f(x,y) / ∂x^2 = 2
∂^2 f(x,y) / ∂y^2 = 2
∂^2 f(x,y) / ∂x∂y = 4

因此，Hessian 矩阵为：

H(x,y) = [2 4]
[4 2]

接下来，我们将点（x=0，y=1）代入 Hessian 矩阵，并计算矩阵的特征值。特征值是判断矩阵是否为负定矩阵的关键。

H(0,1) = [2 4]
[4 2]

计算矩阵的特征值：

|H - λI| = 0
(2 - λ)(2 - λ) - 4*4 = 0
λ^2 - 4λ - 12 = 0
(λ - 6)(λ + 2) = 0

因此，矩阵的特征值为 λ1 = 6 和 λ2 = -2。由于存在一个负特征值，矩阵不是正定矩阵，因此，点（x=0，y=1）不满足非线性规划问题 maximize:x ^ { 2 } +4xy+y ^ { 2 } 的二阶优化条件。