请通过一个实例为我讲解一下单纯形法

假设有如下线性规划问题：

最大化 z = 2x1 + 3x2

约束条件：

x1 + x2 ≤ 4

2x1 + x2 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0

首先，我们将问题转化为标准形式。将目标函数最大化转化为最小化：

最小化 z = -2x1 - 3x2

约束条件：

x1 + x2 + s1 = 4

2x1 + x2 + s2 = 5

x1, x2, s1, s2 ≥ 0

其中，s1和s2是人工变量。

接下来，我们构建初始单纯形表。将约束条件和目标函数放在一起构成一个矩阵，如下所示：

基变量 | 非基变量 | 系数 | 右端常数
--------|---------|------|--------
s1 | x1 | 1 | 4
s2 | x2 | 1 | 5
z | |-2 | 0

其中，基变量是s1和s2，非基变量是x1和x2。

下一步是选择入基变量。我们要找到一个非基变量，使得把它加入基变量后能够使目标函数值变小。在这个例子中，我们选择x1作为入基变量。

然后，我们需要选择出基变量。这里有两种选择方法：最小比率法和最大增量法。这里我们选择最小比率法。我们计算每个约束条件右端常数与对应非基变量系数的比率，然后选择最小的那个。在这个例子中，s1的比率为4，s2的比率为5。因此，我们选择s1作为出基变量。

接下来，我们进行一次单纯形迭代。我们用x1替换掉s1，然后重新计算表格。计算方法如下：

- 将x1的系数除以x1的系数，得到1
- 将x1所在列的其他系数除以x1的系数，得到新的系数
- 将s1所在行的系数乘以x1的系数，得到新的系数
- 将其他行的系数减去对应的新系数乘以它们的x1系数，得到新的系数

基变量 | 非基变量 | 系数 | 右端常数
--------|---------|------|--------
x1 | s2 | 0.5 | 2
s1 | -x2 | -0.5 | 2
z | 3x2 | 1 | 8

现在，我们需要再次选择入基变量和出基变量。我们发现z列中的系数都为正数，说明当前解还不是最优解。因此，我们需要继续迭代。

我们选择x2作为入基变量。然后，我们计算每个约束条件右端常数与对应非基变量系数的比率，选择最小的那个。在这个例子中，s1的比率为4，s2的比率为2。因此，我们选择s2作为出基变量。

接下来，我们进行一次单纯形迭代。我们用x2替换掉s2，然后重新计算表格。计算方法如下：

- 将x2的系数除以x2的系数，得到1
- 将x2所在列的其他系数除以x2的系数，得到新的系数
- 将s2所在行的系数乘以x2的系数，得到新的系数
- 将其他行的系数减去对应的新系数乘以它们的x2系数，得到新的系数

基变量 | 非基变量 | 系数 | 右端常数
--------|---------|------|--------
x1 | -s1 | 1 | 2
x2 | s2 | 1 | 3
z | 2s2 | 0 | 11

现在，我们发现z列中的系数都为非正数，说明当前解是最优解。因此，我们停止迭代。最优解为z=11，x1=2，x2=3。