标准正态分布方差推导

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--相关问题--:
1. 什么是标准正态分布？
2. 标准正态分布有哪些性质？
3. 正态分布在实际应用中有哪些场景？

相关问题

一般正态分布和标准正态分布的推导

一般正态分布和标准正态分布的推导如下所示：
一般正态分布是指具有均值μ和标准差σ的正态分布，记为N(μ, σ^2)。而标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布，记为N(0, 1)。

推导一般正态分布到标准正态分布的过程可以使用中心极限定理来实现。中心极限定理表明，对于独立同分布、具有有限期望和方差的随机变量序列，其和的标准化变量趋近于标准正态分布。

具体推导过程如下：
设随机变量X1，X2，…Xn，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E（Xk）=μ，D（Xk）=σ^2 > 0 (k=1,2…)，那么随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn(x)对于任意x满足limFn(x) = Φ(x)，其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数。

因此，我们可以通过将一般正态分布的随机变量X转化为标准正态分布的随机变量Z，使用以下公式进行标准化：
= (X - μ) / σ

通过标准化，我们可以将一般正态分布转化为标准正态分布，从而进行统计推断和计算。

正态分布的期望和方差的推导公式

正态分布的期望和方差的推导公式如下：

设X是一组服从正态分布N(μ, σ^2)的随机变量，其中μ为期望，σ^2为方差。则有：

期望：

E(X) = μ

方差：

Var(X) = E[(X-μ)^2]

= E(X^2 - 2μX + μ^2)

= E(X^2) - 2μE(X) + μ^2

= E(X^2) - μ^2

因为正态分布的特殊性质，X和Y = (X-μ)/σ都是标准正态分布N(0,1)的随机变量。所以有：

E(Y) = 0，Var(Y) = 1

则有：

E(X) = E(σY + μ)

= σE(Y) + μ

= μ

Var(X) = Var(σY + μ)

= σ^2Var(Y)

= σ^2

综上所述，正态分布的期望为μ，方差为σ^2。