n位同学站成一排，音乐老师要请其中的(n−k)位同学出列，使得剩下的kk位同学排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设k位同学从左到右依次编号为1,2,…,k，他们的身高分别为t1,t2,…,tk，则他们的身高满足t1<t2<…<ti,ti>ti+1>…>tk(1≤i≤k)。 你的任务是，已知所有n位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

### 回答1：
题目描述：

给定一个长度为 n 的同学身高序列，要求在其中取出 kk 位同学排成合唱队形，要求先从左往右依次选择下标递增的 kk 位同学，然后从右往左依次选择下标递减的 kk 位同学，且中间位置的同学既能属于左边也能属于右边，求最多能有多少位同学同时在合唱队里，输出这个最大值。

解题思路：

针对这道题，可以采用动态规划的思路来解决。动态规划决策：以第 ii 个同学为结尾的最长上升子序列长度 Lis(i)，以第 ii 个同学为开头的最长下降子序列长度 Lds(i)，加起来再减去 11（因为 ii 这个同学被重复计算了一次）即为以 ii 为山顶信息的 LDS 长度。其状态转移方程为：

Lis(i)=max(Lis(j))+1,j<i,a[i]>a[j];

其中 a[i]>a[j] 前提是整个序列是上升的。如果 a[i]>a[j] 条件不满足的话，那么 Lis(i)=1。

Lds(i)=max(Lds(j))+1,j>i,a[i]>a[j]

其中 a[i]>a[j] 前提是整个序列是下降的。如果 a[i]>a[j] 条件不满足的话，那么 Lds(i)=1。

最后，遍历所有的 ii 并求出以第 ii 个同学为山顶的 LDS 长度即可。

实现过程中需要注意的点：

- 在实现 Lis 和 Lds 函数时需要注意，需要将第一项设为 1，因为一个人也能组成一个队伍。
- 动态规划实现时需要用到两个数组，分别记录 Lis 和 Lds 的结果。

参考代码：

### 回答2：
这道题可以用动态规划来解决。设数组up[i]表示以i结尾的最长上升子序列长度，数组down[i]表示以i开始的最长下降子序列长度，则最终的答案为max{up[i]+down[i]-1}(1<=i<=n)。

首先，我们可以先计算出所有以i结尾的最长上升子序列长度up[i]。考虑到求以i结尾的最长上升子序列，我们可以从1~i-1枚举j，如果a[j]<a[i]，则up[i]=max{up[i],up[j]+1}。这个过程可以使用动态规划来实现，时间复杂度为O(n^2)。

然后，我们再计算出所有以i开始的最长下降子序列长度down[i]。考虑到求以i开始的最长下降子序列，我们可以从n到i+1枚举j，如果a[j]<a[i]，则down[i]=max{down[i],down[j]+1}。同样，这个过程也可以使用动态规划来实现，时间复杂度也为O(n^2)。

最终，我们可以从1~n枚举i，求出up[i]+down[i]-1的最大值，即为答案。

此外，题目中要求出列的同学人数，可以使用贪心算法，从up[i]+down[i]-1最大的位置i开始，先选择up[i]最大的k位同学出列，再选择down[i]最大的k位同学出列，总共出列2k位同学。之后剩下的同学即可排成合唱队形。

总体时间复杂度为O(n^2)。

### 回答3：
这是一个典型的动态规划问题。首先需要明确状态。我们可以将状态定义为：dp[i][j]表示以第i名学生为结尾，已经选择j个学生出列，所得到的合唱队形的最大长度。

然后考虑状态转移方程。对于第i名学生，有两种选择：出列或不出列。如果第i名学生不出列，则dp[i][j]可以由dp[i-1][j]转移而来。如果第i名学生出列，则需要考虑所有比他低的学生中已经出列的人数，假设为p，则dp[i][j]可以由max{dp[k][j-p]+1}(1≤k<i)转移而来。

最终答案为所有dp[i][j]中最大的值。

需要注意的是，一定要先将所有学生按身高排序，这样才能满足合唱队形的定义。同时，合唱队形的长度应该大于等于2，因此出列的人数j应该在1~n-1之间。

代码如下：

（其中INF表示一个足够大的数，用于初始化）