用一阶单向波方程推导mur一阶吸收边界条件
时间: 2024-02-23 11:57:02 浏览: 23
首先,我们先考虑一维波动方程:
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
$$
其中,$u(x,t)$ 表示波函数,$c$ 表示波速。
为了推导吸收边界条件,我们需要引入 Mur 一阶吸收边界条件。假设边界位置为 $x=0$,则 Mur 一阶吸收边界条件可以表示为:
$$
\frac{\partial u}{\partial t} + \alpha u = \frac{\partial}{\partial x}\left(\beta \frac{\partial u}{\partial x}\right)
$$
其中,$\alpha$ 和 $\beta$ 是吸收系数,可以根据需要进行调整。
现在,我们需要将 Mur 一阶吸收边界条件应用到波动方程中。首先,我们将波函数 $u(x,t)$ 在边界处进行 Taylor 展开,有:
$$
u(x+\Delta x, t) = u(x,t) + \Delta x \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\Delta x^2}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \cdots
$$
其中,$\Delta x$ 表示网格间距。
然后,我们将 $u(x,t)$ 和 $u(x+\Delta x, t)$ 带入 Mur 一阶吸收边界条件中,得到:
$$
\frac{u^{n+1}_0 - u^n_0}{\Delta t} + \alpha u^n_0 = \frac{1}{\Delta x}\left(\beta \frac{\partial u^n}{\partial x}\bigg|_{x=\Delta x/2} - \beta \frac{\partial u^n}{\partial x}\bigg|_{x=-\Delta x/2}\right)
$$
其中,$u^n_0$ 表示时间步 $n$ 时刻边界位置 $x=0$ 处的波函数值,$u^{n+1}_0$ 表示时间步 $n+1$ 时刻边界位置 $x=0$ 处的波函数值,$\Delta t$ 表示时间步长。
接下来,我们使用差分形式表示各种导数,得到:
$$
\frac{u^{n+1}_0 - u^n_0}{\Delta t} + \alpha u^n_0 = \frac{\beta}{\Delta x^2}\left(u^n_{-1} - 2u^n_0 + u^n_{1}\right)
$$
其中,$u^n_{-1}$ 表示时间步 $n$ 时刻位置 $x=-\Delta x/2$ 处的波函数值,$u^n_{1}$ 表示时间步 $n$ 时刻位置 $x=\Delta x/2$ 处的波函数值。
这样,我们就得到了 Mur 一阶吸收边界条件在一维波动方程中的差分形式。
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