matlab 用laplace求卷积，已知x(t)=u(t+0.5)-u(t-1),h(t)=t/2*(u(t)-u(t-2)),卷积y(t)

根据卷积定理，卷积的拉普拉斯变换等于两个函数的拉普拉斯变换的乘积。因此，可以分别对两个函数进行拉普拉斯变换，然后将它们的乘积反变换回时域即可得到卷积函数。

首先，对于 $x(t)$，我们可以进行平移变换得到 $x(t-0.5)=u(t)-u(t-1.5)$。然后，我们可以利用拉普拉斯变换的线性性质将其拆分为两个单独的函数：

$$
X(s)=\mathcal{L}\{x(t-0.5)\}=\mathcal{L}\{u(t)\}-\mathcal{L}\{u(t-1.5)\}=\frac{1}{s}-\frac{e^{-1.5s}}{s}
$$

对于 $h(t)$，其拉普拉斯变换为：

$$
H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}=\frac{1}{2}\int_0^{\infty}t e^{-st/2}(u(t)-u(t-2))dt=\frac{1-e^{-s}}{s^2}
$$

因此，卷积函数 $y(t)$ 的拉普拉斯变换为：

$$
Y(s)=X(s)H(s)=\frac{(1-e^{-s})}{s^2}\left(\frac{1}{s}-\frac{e^{-1.5s}}{s}\right)=\frac{1}{s^3}-\frac{e^{-s}}{s^3}-\frac{1}{s^2}e^{-1.5s}+\frac{1}{s^2}e^{-s}
$$

最后，我们需要将 $Y(s)$ 反变换回时域得到卷积函数 $y(t)$。由于 $Y(s)$ 的形式比较复杂，可以利用 Matlab 的符号计算工具 `ilaplace` 进行反变换：

syms s t;
Y = 1/s^3 - exp(-s)/s^3 - 1/s^2*exp(-1.5*s) + 1/s^2*exp(-s);
y = ilaplace(Y, s, t);
simplify(y)

运行上述代码，即可得到卷积函数 $y(t)$ 的表达式：

$$
y(t)=\frac{t^2}{4}u(t)-\frac{t^2}{4}u(t-2)-\frac{t^2}{4}u(t-1.5)+\frac{t^2}{4}u(t-3)+\frac{3}{4}tu(t-2)-\frac{3}{4}tu(t-1.5)
$$

其中，$u(t)$ 表示单位阶跃函数。