多源最短路径Floyd算法（有向图）

Floyd算法是一种用于求多源最短路径的算法，特别适用于有向图。它的基本思想是使用动态规划的方法，通过重复计算最短路径来逐步更新每两点间的最短距离。具体来说，Floyd算法需要三重循环来实现，分别是：

1. 遍历所有的中间点；
2. 遍历所有的起点；
3. 遍历所有的终点。

每次循环都会更新从起点到终点的最短路径，最终得到所有点对间的最短路径。

Floyd算法的时间复杂度为O（n^3），其中n是图中点的数量，因此对于大型图来说，Floyd算法可能不太适用，但它对于较小的图来说却是非常有效的。

相关问题

编写代码首先用数组初始化有向图，邻接矩阵建立有向有权重图（CreateGraph 函数），然 后分别用 Dijkstra 算法求单源最短路径和 Floyd-Warshall 算法求出多源最短路径。

好的，下面是一个简单的代码示例，其中包括创建有向图和 Dijkstra 算法、Floyd-Warshall 算法的实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 1005; // 最大顶点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大

struct Edge { // 边的结构体
    int to; // 终点
    int w; // 权重
    Edge(int _to, int _w) : to(_to), w(_w) {}
};

vector<Edge> G[MAXN]; // 邻接表存储图
int n, m; // 顶点数、边数
int dist[MAXN]; // 存储 Dijkstra 算法中的最短距离
int d[MAXN][MAXN]; // 存储 Floyd-Warshall 算法中的最短距离

// 初始化有向图，邻接矩阵建立有向有权重图
void CreateGraph() {
    cin >> n >> m;
    memset(d, INF, sizeof(d)); // 初始化 Floyd-Warshall 矩阵
    while (m--) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].push_back(Edge(v, w)); // u -> v，权重为 w，加入邻接表
        d[u][v] = min(d[u][v], w); // 更新 Floyd-Warshall 矩阵
    }
}

// Dijkstra 算法求单源最短路径
void Dijkstra(int s) {
    memset(dist, INF, sizeof(dist));
    dist[s] = 0;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
    q.push(make_pair(0, s));
    while (!q.empty()) {
        auto p = q.top();
        q.pop();
        int d = p.first; // 当前点到起点的距离
        int v = p.second; // 当前点的编号
        if (dist[v] < d) continue;
        for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) {
            Edge e = G[v][i];
            if (dist[e.to] > dist[v] + e.w) {
                dist[e.to] = dist[v] + e.w;
                q.push(make_pair(dist[e.to], e.to));
            }
        }
    }
}

// Floyd-Warshall 算法求多源最短路径
void FloydWarshall() {
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    CreateGraph();
    Dijkstra(1); // 求从起点 1 到其他所有点的最短距离
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << dist[i] << ' ';
    }
    cout << endl;
    FloydWarshall(); // 求任意两点间的最短距离
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cout << d[i][j] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

以上是一个简单的实现，你可以根据自己的需要进行修改和优化。希望能够帮到你！

最短路劲Floyd算法

Floyd算法是一种多源最短路径算法，用于计算图中任意两个顶点之间的最短路径。它通过动态规划的思想逐步更新路径的长度来计算最短路径。

Floyd算法的基本思想是通过一个中间顶点集合，逐个考察这个集合中的顶点，看是否可以通过这个中间顶点缩短路径长度。具体步骤如下：

1. 初始化一个二维数组D，其中D[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径长度。如果i和j之间有边相连，则D[i][j]为边的权值，否则为无穷大。
2. 对于每一个中间顶点k，考虑所有的一对顶点i和j，更新D[i][j]为D[i][k] + D[k][j]与D[i][j]的较小值。
3. 重复步骤2，不断更新D数组，直到所有顶点都被考虑为中间顶点。
4. 最后得到的D数组中，D[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径长度。

Floyd算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为图中顶点的个数。因此，Floyd算法适用于顶点数不太多的图。

需要注意的是，Floyd算法可以处理有向图和带负权边的图，但不能处理带有负权环的图，因为负权环会导致最短路径不存在。

总结起来，Floyd算法是一种多源最短路径算法，通过动态规划的思想逐步更新路径长度，可以计算出图中任意两个顶点之间的最短路径长度。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* [图算法——求最短路径（Floyd算法）](https://blog.csdn.net/qq_61959780/article/details/129363941)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
- *2* *3* [最短路径（Dijkstra算法和Floyd算法）](https://blog.csdn.net/weixin_44267007/article/details/119770562)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_1"}}] [.reference_item style="max-width: 50%"]
[ .reference_list ]