两小球质量分别为m1=1Kg和m2=0.5Kg,两弹簧的弹性系数分别为c1=80N/m和c2=50N/m，请应用拉格朗日方法建立其动力学方程

我们可以首先画出系统的示意图，如下所示：

          |<---x1--->|
    |-----m1-----|-----m2-----|
    |            |            |
    |--k1--|     |--k2--|     |
    |      |     |      |     |
    O      x      y      z     O

其中，$m_1$ 和 $m_2$ 分别是两个小球的质量，$c_1$ 和 $c_2$ 分别是两个弹簧的弹性系数，$x$, $y$ 和 $z$ 分别是两个小球的位移，$O$ 是两个小球的平衡位置。

接下来，我们可以根据拉格朗日方法来建立系统的动力学方程。首先，系统的拉格朗日量可以表示为：

$$
L = T - V
$$

其中，$T$ 是系统的动能，$V$ 是系统的势能。系统的动能可以表示为两个小球的动能之和：

$$
T = \frac{1}{2}m_1\dot{x}^2 + \frac{1}{2}m_2\dot{y}^2
$$

系统的势能可以表示为两个小球的势能之和，再加上两个弹簧的势能：

$$
V = \frac{1}{2}c_1x^2 + \frac{1}{2}c_2y^2 + \frac{1}{2}c_1(x-y)^2 + \frac{1}{2}c_2(y-z)^2
$$

根据拉格朗日方程，我们可以得到系统的运动方程：

$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} - \frac{\partial L}{\partial z} = 0
$$

将拉格朗日量代入上式，可以得到：

$$
m_1\ddot{x} + c_1x - c_1(y-x) = 0 \\
m_2\ddot{y} + c_2y - c_2(y-z) = 0 \\
z = 0
$$

将 $z=0$ 的条件代入上式，可以得到两个小球的运动方程：

$$
\begin{cases}
m_1\ddot{x} + c_1x - c_1y = 0 \\
m_2\ddot{y} + c_2y - c_2x = 0 \\
\end{cases}
$$

这就是系统的动力学方程。