最长递增子序列动态规划

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）是指在一个无序的序列中，找到一个尽可能长的子序列使得这个子序列中的所有元素都是递增的。动态规划是解决 LIS 问题的一种常用方法。

动态规划的思路是，先定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。那么，对于每一个 i，我们需要枚举在它之前的所有元素 j（j<i），如果当前的数 nums[i] 大于 nums[j]，那么 nums[i] 就可以接在 nums[j] 后面形成一个比 dp[j] 更长的递增子序列，此时 dp[i] 就可以更新为 dp[j]+1。最后，遍历一遍 dp 数组，找到其中的最大值，即为 LIS 的长度。

下面是 Python 代码实现：

def lengthOfLIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
    return max(dp)

相关问题

最长递增子序列 动态规划

动态规划是一种解决最值问题的方法，其中最长递增子序列问题是其中的一个典型应用。在这个问题中，我们需要找到一个给定序列中最长的递增子序列。

动态规划解决最长递增子序列问题的一般步骤如下：
1. 创建一个长度与原始序列相同的dp数组，用来存储以当前元素为结尾的最长递增子序列的长度。
2. 初始化dp数组的每个元素为1，表示以该元素为结尾的最长递增子序列的长度至少为1。
3. 从序列的第二个元素开始，遍历整个序列。
4. 对于每个元素，再次遍历该元素之前的所有元素。
5. 如果当前元素大于前面的某个元素，并且以该前面的元素为结尾的最长递增子序列长度加1大于当前元素所在位置的dp数组的值，则更新当前元素的dp数组的值为该长度。
6. 最后，遍历整个dp数组，找到最大值，即为最长递增子序列的长度。

根据上述步骤，我们可以使用普通的动态规划算法来解决最长递增子序列问题，其时间复杂度为O(N^2)。引用介绍了动态规划方法在解决最长递增子序列问题时的应用。引用指出了在解决该问题时，需要按照第一维参数进行升序排序，然后按照第二维参数降序排序。而引用中的代码展示了如何利用dp数组来求得最长递增子序列的长度。

因此，根据上述引用内容，可以总结出通过动态规划来解决最长递增子序列问题的一般方法和相关注意事项。<span class="em">1</span><span class="em">2</span><span class="em">3</span>
#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [动态规划算法 | 最长递增子序列](https://blog.csdn.net/qq_38844835/article/details/127464625)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"]
[ .reference_list ]

最长递增子序列 动态规划 c

最长递增子序列是一个经典的动态规划问题，在程序设计竞赛、算法竞赛等领域被广泛应用。下面是一个用C语言实现的最长递增子序列算法。

算法思路：

我们可以用dp[i]表示以第i个数结尾的最长递增子序列的长度，那么状态转移方程为：

dp[i] = max{dp[j] + 1 | j < i && a[j] < a[i]}

即枚举i前面的所有位置j，如果a[j] < a[i]，则可以将i加入以j结尾的最长递增子序列，长度加1，取所有可能的情况中的最大值。

最终的结果为dp数组中的最大值。

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAXN 1000

int a[MAXN], dp[MAXN];

int max(int x, int y) {
    return x > y ? x : y;
}

int main() {
    int n, ans = 1;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            if (a[j] < a[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
        ans = max(ans, dp[i]);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

输入格式：第一行为序列长度n，接下来一行为n个整数，表示序列。

输出格式：一行，表示最长递增子序列的长度。

例如，输入：

5
1 5 2 3 4

输出：

4