用python语言求最长递增子序列。输入序列A=[18,17,19,6,11,21,23,15]。请编程实现求解A中最长递增子序列的动态规划算法，并分析算法时间复杂度

以下是Python实现最长递增子序列的代码：

def longest_increasing_subsequence(A):
    n = len(A)
    dp = [1] * n

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if A[j] < A[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

A = [18, 17, 19, 6, 11, 21, 23, 15]
print(longest_increasing_subsequence(A))

时间复杂度为O(n^2)，其中n为序列A的长度。因为需要对每个元素都进行一次遍历，并且每次遍历需要对之前的所有元素进行比较，所以时间复杂度为O(n^2)。

相关问题

输入序列A=[18,17,19,6,11,21,23,15]。请给出序列求解A 中最长递增子序列的动态规划算法，并分析算法时间复杂度。

### 回答1：
最长递增子序列问题可以使用动态规划求解。定义dp[i]表示以A[i]结尾的最长递增子序列的长度，则有：

dp[i] = max(dp[j])+1, 0<=j<i and A[j]<A[i]

其中，dp[j]表示以A[j]结尾的最长递增子序列长度。最终答案为所有dp[i]中的最大值。

根据上述状态转移方程，可以使用两重循环求解dp数组。时间复杂度为O(n^2)。

下面是Python代码实现：

def longest_increasing_subsequence(A):
    n = len(A)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if A[j] < A[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

A = [18, 17, 19, 6, 11, 21, 23, 15]
print(longest_increasing_subsequence(A))  # 输出：4

在上述代码中，我们使用dp数组记录每个子问题的最优解，最后返回所有子问题中的最大值。时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

### 回答2：
动态规划算法可以用来解决最长递增子序列的问题。下面是一种基于动态规划算法的解题思路：

首先创建一个与序列A长度相同的数组dp，用来记录以每个元素结尾的最长递增子序列的长度。
初始化dp数组的所有元素为1，因为每个元素本身都构成一个长度为1的递增子序列。

针对每个元素A[i]，从第一个元素A[0]开始遍历到A[i-1]，若找到一个比A[i]小的元素A[j]，则说明A[j]可以与A[i]组成一个递增子序列。
此时比较dp[j] + 1是否大于dp[i]，若大于则更新dp[i]的值为dp[j] + 1。

遍历完整个序列A后，dp数组中的最大值即为最长递增子序列的长度。

根据以上思路，可以得到如下实现：

A = [18, 17, 19, 6, 11, 21, 23, 15]
n = len(A)
dp = [1] * n # 初始化dp数组

for i in range(1, n):
for j in range(i):
if A[j] < A[i] and dp[j] + 1 > dp[i]:
dp[i] = dp[j] + 1

result = max(dp) # 最长递增子序列的长度
print(result)

以上算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为输入序列A的长度。因为需要两次循环遍历序列A，所以时间复杂度为二次方级别。

### 回答3：
最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是指在一个序列中找到最长的子序列，使得子序列中所有的元素按照顺序递增。

动态规划算法解决LIS问题的基本思路是维护一个dp数组，dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。对于序列中的每个元素A[i]，遍历其前面的所有元素A[j]（0 ≤ j < i），如果A[j]小于A[i]且dp[j]+1大于dp[i]，则更新dp[i]=dp[j]+1。最后在dp数组中找到最大值，即为最长递增子序列的长度。

对于输入序列A=[18,17,19,6,11,21,23,15]，应用动态规划算法可得到dp数组为[1,1,2,1,2,3,4,2]，最长递增子序列的长度为4。

算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为序列的长度。外层循环遍历序列的每个元素，内层循环遍历每个元素之前的所有元素，因此总共需要进行n(n-1)/2次比较和更新操作。

在程序中添加函数 trace_back(),尝试通过动态规划表回溯得到原问题的解。从动态规划表中获得最长递增子序列长度 查找该值的出现位置 输出从该值往前的最长递增子序列长度个元素作为原问题解返回

以下是Python实现最长递增子序列并回溯得到原问题解的代码：

def longest_increasing_subsequence(A):
    n = len(A)
    dp = [1] * n
    pre = [-1] * n

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if A[j] < A[i] and dp[j] + 1 > dp[i]:
                dp[i] = dp[j] + 1
                pre[i] = j

    max_len = max(dp)
    index = dp.index(max_len)
    res = [A[index]]

    while pre[index] != -1:
        index = pre[index]
        res.append(A[index])

    res.reverse()

    return max_len, res

A = [18, 17, 19, 6, 11, 21, 23, 15]
max_len, res = longest_increasing_subsequence(A)

print("最长递增子序列长度为：", max_len)
print("最长递增子序列为：", res)

函数`longest_increasing_subsequence`返回最长递增子序列的长度和最长递增子序列。在函数中，我们新增了一个数组`pre`用于记录每个元素在最长递增子序列中的前一个元素的下标。在求解完dp数组之后，我们可以通过回溯pre数组来得到原问题的解。

首先，我们找到最长递增子序列的最后一个元素的下标index，然后从后往前遍历pre数组，找到每个元素在最长递增子序列中的前一个元素的下标，把这个元素添加到结果数组中。最后，把结果数组翻转过来，就得到了最长递增子序列。

时间复杂度同样为O(n^2)。