matlab（1） 利用拉格朗日插值法求出穿过给定数据点的多项式

拉格朗日插值法是一种通过已知数据点，求解出其余数据点的方法。其基本思想是构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点上与已知函数值相等。设已知 n 个点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)$，则拉格朗日插值多项式为：

$$
L(x)=\sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
$$

其中 $L(x)$ 就是求解出的多项式函数。

在 MATLAB 中，可以使用 `polyfit` 函数来进行拉格朗日插值计算。具体步骤如下：

1. 将已知数据点存储在一个矩阵中，其中第一行为 $x$ 坐标，第二行为 $y$ 坐标。
2. 使用 `polyfit` 函数进行插值计算，函数格式为：

p = polyfit(x, y, n)

其中 `x` 和 `y` 分别为已知数据点的 $x$ 和 $y$ 坐标，`n` 为插值多项式的次数。该函数返回一个向量 `p`，表示插值多项式的系数。

3. 使用 `polyval` 函数计算插值多项式在任意点的函数值，函数格式为：

y_interp = polyval(p, x_interp)

其中 `p` 为 `polyfit` 函数返回的多项式系数，`x_interp` 为需要插值的点的 $x$ 坐标，`y_interp` 为插值多项式在该点的函数值。

下面给出一个完整的示例代码：

% 已知数据点
x = [0, 1, 2, 3, 4];
y = [1, 2, 1, 0, 1];

% 拉格朗日插值
p = polyfit(x, y, 4);
x_interp = linspace(0, 4, 101);
y_interp = polyval(p, x_interp);

% 绘图
plot(x, y, 'o', x_interp, y_interp);

该代码会将已知数据点绘制为散点图，插值多项式绘制为连续的曲线。