设计算法求解AOE网的关键路径

求解 AOE 网的关键路径可以使用拓扑排序和动态规划的方法。

步骤如下：

1. 对 AOE 网进行拓扑排序，得到各个节点的拓扑序列。

2. 对每个节点进行动态规划，计算出其最早开始时间和最晚开始时间。

3. 计算每条边的活动时间，即最晚开始时间减去最早开始时间。

4. 找出所有活动时间为 0 的边，这些边所连接的两个节点即为关键路径上的节点。

下面是详细步骤：

1. 对 AOE 网进行拓扑排序，得到各个节点的拓扑序列。

从起点开始，按照拓扑序列依次访问每个节点，得到其最早开始时间和最晚开始时间。

2. 对每个节点进行动态规划，计算出其最早开始时间和最晚开始时间。

最早开始时间（ES）：以该节点为终点的所有入边的最大活动时间（即最早开始时间加上持续时间）的最大值。

最晚开始时间（LS）：以该节点为起点的所有出边的终点节点的最早开始时间减去该边的持续时间的最小值。

起点的最早开始时间为 0，终点的最晚开始时间为其最早开始时间。

3. 计算每条边的活动时间，即最晚开始时间减去最早开始时间。

4. 找出所有活动时间为 0 的边，这些边所连接的两个节点即为关键路径上的节点。

关键路径上的节点即为整个 AOE 网的关键路径。

以上就是求解 AOE 网的关键路径的算法。

相关问题

设计算法求解AOE网的关键路径，写出c++代码

下面是使用 C++ 语言实现求解 AOE 网关键路径的代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

// AOE 网的边的结构体
struct Edge {
    int to;         // 边的终点
    int weight;     // 边的权重
    Edge(int t, int w) : to(t), weight(w) {}
};

// AOE 网的节点的结构体
struct Node {
    int id;                 // 节点的编号
    int earliest_start;     // 最早开始时间
    int latest_start;       // 最晚开始时间
    vector<Edge> edges;     // 节点的出边
};

// 拓扑排序
vector<Node> topological_sort(vector<Node>& nodes, int start) {
    vector<Node> sorted;    // 拓扑排序后的节点序列
    queue<Node> q;          // 存储入度为 0 的节点
    vector<int> in_degree(nodes.size(), 0);  // 存储每个节点的入度

    // 计算每个节点的入度
    for (const auto& n : nodes) {
        for (const auto& e : n.edges) {
            in_degree[e.to]++;
        }
    }

    // 将入度为 0 的节点加入队列
    q.push(nodes[start]);
    while (!q.empty()) {
        Node n = q.front();
        q.pop();
        sorted.push_back(n);

        for (const auto& e : n.edges) {
            in_degree[e.to]--;
            if (in_degree[e.to] == 0) {
                q.push(nodes[e.to]);
            }
        }
    }

    return sorted;
}

// 计算 AOE 网的关键路径
vector<int> critical_path(vector<Node>& nodes, int start, int end) {
    // 拓扑排序
    vector<Node> sorted_nodes = topological_sort(nodes, start);

    // 初始化节点的最早开始时间和最晚开始时间
    for (auto& n : nodes) {
        n.earliest_start = 0;
        n.latest_start = INF;
    }
    nodes[start].latest_start = nodes[start].earliest_start;

    // 计算每个节点的最早开始时间
    for (const auto& n : sorted_nodes) {
        for (const auto& e : n.edges) {
            int cur_es = nodes[e.to].earliest_start;
            int new_es = n.earliest_start + e.weight;
            if (cur_es < new_es) {
                nodes[e.to].earliest_start = new_es;
            }
        }
    }

    // 计算每个节点的最晚开始时间
    for (auto it = sorted_nodes.rbegin(); it != sorted_nodes.rend(); it++) {
        for (const auto& e : it->edges) {
            int cur_ls = it->latest_start;
            int new_ls = nodes[e.to].latest_start - e.weight;
            if (cur_ls > new_ls) {
                it->latest_start = new_ls;
            }
        }
    }

    // 找出关键路径上的节点
    vector<int> critical_nodes;
    for (const auto& n : nodes) {
        for (const auto& e : n.edges) {
            int activity_time = nodes[e.to].latest_start - n.earliest_start - e.weight;
            if (activity_time == 0) {
                critical_nodes.push_back(n.id);
                critical_nodes.push_back(e.to);
            }
        }
    }

    return critical_nodes;
}

int main() {
    // 创建 AOE 网
    vector<Node> nodes = {
        {0, 0}, // 起点
        {1},
        {2},
        {3},
        {4},
        {5},
        {6},
        {7},
        {8},
        {9},
        {10},
        {11},
        {12, INF} // 终点
    };
    nodes[0].edges = { Edge(1, 6), Edge(2, 4), Edge(3, 5) };
    nodes[1].edges = { Edge(4, 1) };
    nodes[2].edges = { Edge(4, 1), Edge(5, 2) };
    nodes[3].edges = { Edge(5, 3) };
    nodes[4].edges = { Edge(6, 9) };
    nodes[5].edges = { Edge(6, 7), Edge(7, 4) };
    nodes[6].edges = { Edge(8, 2) };
    nodes[7].edges = { Edge(8, 4) };
    nodes[8].edges = { Edge(9, 7) };
    nodes[9].edges = { Edge(12, 3) };
    nodes[10].edges = { Edge(4, 1), Edge(7, 5), Edge(11, 8) };
    nodes[11].edges = { Edge(9, 2), Edge(12, 4) };
    nodes[12].edges = {};

    // 计算关键路径
    vector<int> critical_nodes = critical_path(nodes, 0, 12);

    // 输出关键路径上的节点
    cout << "Critical path: ";
    for (auto n : critical_nodes) {
        cout << n << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

以上代码可以计算出 AOE 网的关键路径，并输出关键路径上的节点。

利用Python语言，实现Dijkstra算法；利用Python语言，求解AOE网最长关键路径。

以下是Python实现的Dijkstra算法：

# Dijkstra算法实现
def dijkstra(graph, start):
    # 初始化距离字典和已访问节点集合
    dist = {node: float('inf') for node in graph}
    visited = set()
    dist[start] = 0

    while len(visited) < len(graph):
        # 从未访问的节点中找到距离起始节点最近的节点
        node = min(graph.keys() - visited, key=lambda x: dist[x])

        # 更新所有邻居节点的距离
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            new_distance = dist[node] + weight
            if new_distance < dist[neighbor]:
                dist[neighbor] = new_distance

        visited.add(node)

    return dist

在这个实现中，我们使用了Python内置的`set`类型来表示已访问的节点集合，使用了一个距离字典`dist`来记录每个节点到起始节点的距离。我们从起始节点开始，每次从未访问过的节点中选取距离起始节点最近的节点进行访问，并更新其邻居节点的距离。重复这个过程直到所有节点都被访问过，即可得到最短路径。

以下是Python实现的AOE网最长关键路径：

from queue import Queue

# AOE网示例
graph = {
    'A': {'B': 3, 'C': 2},
    'B': {'D': 2, 'E': 1},
    'C': {'D': 1, 'E': 3},
    'D': {'F': 4},
    'E': {'F': 2},
    'F': {}
}

# 计算AOE网最长关键路径
def aoe_longest_path(graph, start, end):
    # 计算每个节点的最早开始时间
    earliest_time = {node: 0 for node in graph}
    q = Queue()
    q.put(start)

    while not q.empty():
        node = q.get()
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            if neighbor not in earliest_time:
                earliest_time[neighbor] = earliest_time[node] + weight
                q.put(neighbor)
            else:
                earliest_time[neighbor] = max(earliest_time[neighbor], earliest_time[node] + weight)

    # 计算每个节点的最晚开始时间
    latest_time = {node: earliest_time[end] for node in graph}
    visited = set()
    visited.add(end)

    while len(visited) < len(graph):
        for node in graph:
            if node not in visited and all(neighbor in visited for neighbor in graph[node].keys()):
                latest_time[node] = min(latest_time[neighbor] - weight for neighbor, weight in graph[node].items())
                visited.add(node)

    # 计算每个节点的关键路径时间
    critical_path = []
    for node in graph:
        for neighbor, weight in graph[node].items():
            if earliest_time[node] + weight == earliest_time[neighbor]:
                critical_path.append((node, neighbor, weight))

    return earliest_time[end], latest_time[start], critical_path

# 测试代码
start, end = 'A', 'F'
earliest, latest, critical_path = aoe_longest_path(graph, start, end)
print('AOE网最长关键路径：')
print('起点：', start)
print('终点：', end)
print('最早开始时间：', earliest)
print('最晚开始时间：', latest)
print('关键路径：', critical_path)

在这个实现中，我们先计算每个节点的最早开始时间，然后计算每个节点的最晚开始时间，并以此计算出每个节点的关键路径时间。计算每个节点的最早开始时间时，我们使用了一个队列来实现拓扑排序，从起点开始，依次计算每个节点的最早开始时间，最后得到终点的最早开始时间。计算每个节点的最晚开始时间时，我们使用了一个集合来记录已经访问过的节点，每次选取所有邻居节点都已经被访问的节点进行计算。最后，我们根据每个节点的最早开始时间和最晚开始时间，计算出每个节点的关键路径时间，并将其加入到关键路径中。