数据结构 上三角矩阵

### 上三角矩阵的数据结构定义

上三角矩阵是一种特殊的方阵，在这种矩阵中，所有位于主对角线以下的元素均为零。具体来说，对于一个 \(n \times n\) 的上三角矩阵 \(A\)，当 \(i > j\) 时，\(A_{ij} = 0\)[^4]。

### 数据结构实现方法

为了高效地表示和操作上三角矩阵，可以采用压缩存储的方式减少不必要的空间占用。由于上三角矩阵中的许多位置固定为零，因此只需保存非零部分即可。一种常见的做法是利用一维数组来储存这些非零元素，并设计相应的索引映射函数以便快速访问特定位置上的数值。

#### C++代码示例
下面给出一段基于上述原理构建并初始化简单上三角矩阵类别的C++程序片段：

#include <vector>
using namespace std;

class UpperTriangularMatrix {
private:
    vector<double> elements;
    int size;
public:
    UpperTriangularMatrix(int s):size(s),elements((s*(s+1))/2,0){}
    
    double& operator()(int row,int col){
        if(row<=col && row>=0 && col<size)
            return elements[col+(row*(row+1)/2)];
        throw "Invalid index";
    }
};

这段代码创建了一个名为`UpperTriangularMatrix`的类别，它接受整数参数`s`作为构造器输入以指定矩阵大小；内部使用向量`elements`按列优先顺序存储非零项；重载了括号运算符用于提供直观易懂的操作接口[^1]。

### 应用场景

上三角矩阵广泛应用于多个领域内求解线性代数问题的过程中，比如LU分解法解决线性方程组、计算行列式的值以及特征值估计等方面都离不开这类特殊形式的矩阵。此外，在计算机图形学里绘制三维物体表面属性变化趋势图时也会涉及到此类变换关系的应用[^2]。