对称归一化的拉普拉斯矩阵

对称归一化的拉普拉斯矩阵是图论中常用的一种表示图结构的矩阵。它是对称归一化的邻接矩阵和度矩阵的差值。

假设有一个无向图 G，其邻接矩阵为 A，度矩阵为 D。那么对称归一化的拉普拉斯矩阵 L_sym 定义如下：

L_sym = I - D^(-1/2) * A * D^(-1/2)

其中，I 是单位矩阵，D^(-1/2) 表示度矩阵 D 的逆平方根。

对称归一化的拉普拉斯矩阵具有以下性质：
1. 对于任意的向量 f，有 f^T * L_sym * f >= 0，即 L_sym 是半正定的；
2. 它是对称矩阵，即 L_sym = L_sym^T；
3. 它的特征值非负。

对称归一化的拉普拉斯矩阵在图信号处理、谱聚类等领域有着广泛的应用。它可以用于图上的聚类、降维、图嵌入等任务，并且可以通过特征值分解来获取图上的信息。