二叉排序树的平均查找长度c++

二叉排序树也称为二叉搜索树，是一种特殊的二叉树结构。它具有以下特点：对于树中的任意一个节点，其左子树的所有节点的值都小于它的值，而右子树的所有节点的值都大于它的值。

平均查找长度（Average Search Length, ASL）是指在查找树中搜索特定元素时所平均需要进行的比较次数。对于二叉排序树的平均查找长度c，可以使用以下公式进行计算：

c = (h + 1) * (2^(n-1)) / n

其中，h为二叉排序树的高度，n为树中节点的个数。该公式的推导基于以下假设：对于树中的每个节点，其被查找的概率相等。这个假设在实际应用中不一定成立，但它提供了一种基本的计算平均查找长度的方法。

根据二叉排序树的特点，我们知道，当二叉排序树为满二叉树时，其高度最小，平均查找长度最小；当二叉排序树中所有节点都位于一条斜线上时，其高度最大，平均查找长度最大。

从公式可以看出，平均查找长度c与二叉排序树的高度h和节点个数n有关。当节点个数增加时，平均查找长度也会增加，但增长的速度相对缓慢。当树的高度增加时，平均查找长度也会增加，但增长的速度较快。因此，在设计二叉排序树时，应该尽量控制树的高度，以减少平均查找长度，提高搜索效率。

相关问题

用c++代码求等概论情况下二叉排序树的平均查找长度

下面是用C++实现求二叉排序树等概率情况下的平均查找长度的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// 计算二叉排序树等概率情况下的平均查找长度
double binarySearchTreeASL(int n) {
    int d = log2(n+1);  // 树的深度
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i <= d; i++) {
        sum += i * pow(2, i-1);
    }
    return sum / (pow(2, d)-1);
}

int main() {
    int n = 100;  // 节点数
    double asl = binarySearchTreeASL(n);
    cout << "等概率情况下二叉排序树的平均查找长度为：" << asl << endl;
    return 0;
}

在这个程序中，我们先计算出二叉排序树的深度d，然后按照公式计算每个节点被查找的概率乘以节点的深度之和，最后除以总节点数，即可得到等概率情况下的平均查找长度。这里我们假设二叉排序树中有100个节点，可以根据实际情况修改节点数n的值进行计算。

通过c++设计二叉排序树类（BSTree），实现插入结点、构造二叉排序树、输出查找路径、判断是否二叉排序树，4个成员函数。

好的，下面是代码实现：

#include <iostream>

using namespace std;

// 二叉排序树结点类
class BSTNode {
public:
    int data;
    BSTNode *left;
    BSTNode *right;

    BSTNode(int val) {
        data = val;
        left = right = NULL;
    }
};

// 二叉排序树类
class BSTree {
private:
    BSTNode *root;

    // 辅助函数：插入结点
    void insertNode(int val, BSTNode *&node) {
        if (node == NULL) {
            node = new BSTNode(val);
        } else if (val < node->data) {
            insertNode(val, node->left);
        } else if (val > node->data) {
            insertNode(val, node->right);
        }
    }

    // 辅助函数：构造二叉排序树
    void createBSTree(int arr[], int len) {
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            insertNode(arr[i], root);
        }
    }

    // 辅助函数：输出查找路径
    bool searchPath(int val, BSTNode *node) {
        if (node == NULL) {
            return false;
        } else if (val == node->data) {
            cout << node->data << endl;
            return true;
        } else if (val < node->data) {
            cout << node->data << " ";
            return searchPath(val, node->left);
        } else if (val > node->data) {
            cout << node->data << " ";
            return searchPath(val, node->right);
        }
    }

    // 辅助函数：判断是否二叉排序树
    bool isBSTree(BSTNode *node, int min_val, int max_val) {
        if (node == NULL) {
            return true;
        }
        if (node->data < min_val || node->data > max_val) {
            return false;
        }
        return isBSTree(node->left, min_val, node->data - 1)
            && isBSTree(node->right, node->data + 1, max_val);
    }

public:
    BSTree() {
        root = NULL;
    }

    // 插入结点
    void insert(int val) {
        insertNode(val, root);
    }

    // 构造二叉排序树
    void create(int arr[], int len) {
        createBSTree(arr, len);
    }

    // 输出查找路径
    void search(int val) {
        bool found = searchPath(val, root);
        if (!found) {
            cout << "Not found!" << endl;
        }
    }

    // 判断是否二叉排序树
    bool isBST() {
        return isBSTree(root, INT_MIN, INT_MAX);
    }
};

int main() {
    int arr[] = { 50, 30, 70, 20, 40, 60, 80 };
    int len = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    BSTree bst;
    bst.create(arr, len);

    int val1 = 40;
    bst.search(val1);

    int val2 = 90;
    bst.search(val2);

    bool isBST = bst.isBST();
    cout << "Is a binary search tree: " << isBST << endl;

    return 0;
}

这里使用了递归实现插入结点、构造二叉排序树、输出查找路径、判断是否二叉排序树这四个成员函数。其中，构造二叉排序树函数接受一个整型数组和数组长度，通过循环调用插入结点函数来构造二叉排序树。输出查找路径函数会输出查找到的结点以及经过的路径，如果没找到则输出 "Not found!"。判断是否二叉排序树函数使用了限制最大值和最小值的方法来确保每个结点都符合二叉排序树的定义。

在主函数中，我们创建了一个整型数组并调用了 BSTree 类的成员函数来操作二叉排序树，最后输出是否是二叉排序树。