如何实现一个基于Wilson定理的素数测试算法，并分析其时间复杂度？

Wilson定理提供了一个理论上判定素数的方法，但在实际中直接应用这一定理进行素数测试并不现实，因为计算(n-1)! 会遇到巨大的计算量和溢出问题。尽管如此，理解Wilson定理对于设计高效的素数测试算法至关重要。在《素数测试算法：Wilson定理、费尔马小定理与二次探测》中，你将找到对Wilson定理的深入讨论以及如何利用它来指导更高效的算法设计。

参考资源链接：[素数测试算法：Wilson定理、费尔马小定理与二次探测](https://wenku.csdn.net/doc/1m680mxu24?spm=1055.2569.3001.10343)

实现基于Wilson定理的素数测试算法的关键在于理解(n-1)! 在模n下的性质，即当n为素数时，(n-1)! % n = n - 1。因此，可以对每个小于n的正整数i，计算(i-1)! % n并累乘，如果最终结果模n为n-1，则n可能是素数。然而，由于直接计算阶乘的模会很快溢出，所以实际编程时通常不会使用这种直接的方式。

为了避免直接计算阶乘，可以采用以下策略：首先初始化结果res为1，然后遍历2到n-2的所有整数i，计算res = res * i % n。在每一步中，都可以安全地取模以避免溢出。遍历完成后，如果res等于n-1，则认为n可能是素数。但是，如果res不等于n-1，或者在过程中任一步出现res等于1，则可以确定n不是素数。

在最坏情况下，这个算法的时间复杂度为O(n)，因为需要对n-2个整数进行乘法和模运算。这个复杂度比直接计算(n-1)!要低得多，但仍不适合大整数的测试。为了提高算法的效率和实用性，通常会采用更复杂的算法，如费尔马小定理或二次探测定理，以及蒙特卡罗算法等。

虽然本回答详细说明了如何实现基于Wilson定理的素数测试算法，但鉴于该算法的实际局限性，如果你希望深入研究更高效的素数测试方法，建议查阅《素数测试算法：Wilson定理、费尔马小定理与二次探测》一书。它不仅提供了关于Wilson定理的深入讨论，还介绍了其他实用的素数测试算法和编程技巧，有助于你在该领域进行更深入的探索和实践。

参考资源链接：[素数测试算法：Wilson定理、费尔马小定理与二次探测](https://wenku.csdn.net/doc/1m680mxu24?spm=1055.2569.3001.10343)