动态规划法求解tsp问题

动态规划法是求解TSP问题的一种有效方法。具体步骤如下：

1.定义状态：设d(i,S)表示从起点出发经过集合S中所有点恰好一次，最终回到起点的最短路径长度，其中i∈S。

2.状态转移方程：对于集合S中的任意一个点j，有d(i,S)=min{c(i,j)+d(j,S-{j})}，其中c(i,j)表示i到j的距离。

3.边界条件：当S中只有一个点j时，d(i,{j})=c(i,j)。

4.最终答案：所求即为d(0,{1,2,...,n})，其中0为起点。

下面是Python代码实现：

import sys

# 读入城市代价矩阵
n = 4
matrix = [[0, 2, 6, 5],
          [2, 0, 4, 4],
          [6, 4, 0, 2],
          [5, 4, 2, 0]]

# 定义状态转移函数
def tsp_dp(matrix):
    # 初始化状态矩阵
    dp = [[sys.maxsize] * (1 << n) for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][1 << i] = 0

    # 动态规划
    for s in range(1, 1 << n):
        for i in range(n):
            if s & (1 << i):
                for j in range(n):
                    if s & (1 << j) and i != j:
                        dp[i][s] = min(dp[i][s], matrix[i][j] + dp[j][s ^ (1 << i)])

    # 找出最短路径
    res = sys.maxsize
    for i in range(n):
        res = min(res, dp[i][(1 << n) - 1] + matrix[i][0])

    return res, dp

# 输出结果
res, dp = tsp_dp(matrix)
print("最短路径长度为：", res)

# 输出所经过的城市编号
path = [0]
s = (1 << n) - 1
i = 0
while s:
    for j in range(n):
        if s & (1 << j) and i != j and dp[i][s] == matrix[i][j] + dp[j][s ^ (1 << i)]:
            path.append(j)
            s ^= 1 << j
            i = j
            break
print("所经过的城市编号为：", path)