通过计算雅可比矩阵的转置并与误差向量相乘，可以得到每个关节变量应如何调整以最小化末端位置或姿态的误差

通过最小二乘法[^1]解决机器人的逆 kinematics（反向动力学）问题时，雅可比矩阵（Jacobian matrix）的作用至关重要。具体来说，假设我们有末端位置的测量误差 \( \Delta p \)，雅可比矩阵 \( J \) 的每个元素对应于一个关节变量对末端位置变化的影响。为了找到最小化的关节调整，我们需要做的是：

1. 计算雅可比矩阵的转置 \( J^T \)。这是因为在最小二乘法中，我们要寻找的是使误差向量 \( \Delta p \) 被雅可比矩阵的列向量最小化，即 \( J^T \Delta p \)。

2. 构造误差向量 \( \Delta p \)，它包含末端位置与期望位置之间的偏差。

3. 通过下面的公式计算每个关节变量 \( \theta_i \) 应该调整的增量：

   \Delta \theta = -(J^T)^{-1} \Delta p

其中，\( (J^T)^{-1} \) 是雅可比矩阵转置的逆，表示雅可比矩阵每一行的反作用力。

请注意，如果雅可比矩阵是满秩的（即有独立的列），那么这个逆矩阵存在。然而，在实际应用中，由于测量噪声或简化模型可能使得 \( J \) 不满秩，这时可能需要使用伪逆或其他迭代方法来求解。